Volumen de una pirámide, utilizando una integral

Question

Tengo un examen de cálculo mañana y esta es una pregunta posible. Sin embargo, no sé cómo manejar esta pregunta.

Supongamos que tienes 3 puntos en el espacio: $p_1=(a,0,0)$, $p_2=(0,b,0)$ y $p_3=(0,0,c)$, $a,b,c \gt 0$. Si conectamos estos puntos obtenemos una pirámide en el primer octante, con el origen como vértice.

(i) Demuestra que el volumen de esta pirámide está dado por $V = \frac{1}{6}abc$ mediante el uso de una integral de volumen. Utiliza la fórmula que hicimos para sólidos no de revolución. (Integra $A(x)$ de $a$ a $b$, donde $A(x)$ es el área de la intersección del sólido con el plano perpendicular al eje $x$ en $x$. (Quizás $A(y)$ sea más adecuado en este problema.)) Pista: Calcula la superficie de una sección a una altura $z = z_0$, con $z_0$ constante. (¿Quizás debería encontrar $A(z)$?)

(ii) Si conoces que la ecuación del plano $V$ que pasa por estos puntos está dada por $V \leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, y que $p=(1,2,3)$ es un elemento de $V$, encuentra el volumen mínimo de la pirámide cortada del primer octante. Explique físicamente por qué esto tiene que ser un mínimo.

Notas: Disculpa mi inglés, no es mi lengua materna. La pregunta original está en neerlandés. Utilizamos el libro de texto Cálculo 6ª edición, versión métrica, de James Stewart. Afortunadamente está en inglés, así que debería entender la mayoría de sus respuestas.

¡Muchas gracias desde ahora!

Answer 1

Pirámide y ecuaciones de las rectas situadas en los planos $y=0$ y $z=0$.

$$y=0,\qquad\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow z=\left( 1-\frac{x}{a}\right) c,$$

$$z=0,\qquad\frac{x}{a}+\frac{y}{c}=1\Leftrightarrow y=\left( 1-\frac{x}{a}\right) b.$$

El área $A(x)$ está dada por

$$A(x)=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{x}{a}\right) b\left( 1-\frac{x}{a}\right) c=% \frac{bc}{2}\left( 1-\frac{x}{a}\right) ^{2},$$

porque la intersección del sólido con el plano perpendicular al eje $x$ en $x$ es un triángulo rectángulo con catetos $\left( 1-\frac{x}{a}\right) c$ y $\left( 1-\frac{x}{a}\right) b$. Por lo tanto

$$\begin{eqnarray*} V &=&\int_{0}^{a}A(x)dx \\ &=&\frac{bc}{2}\int_{0}^{a}\left( 1-\frac{x}{a}\right) ^{2}dx \\ &=&\frac{bc}{2}\int_{0}^{a}1-\frac{2x}{a}+\frac{x^{2}}{a^{2}}dx \\ &=&\frac{bc}{2}\left( \int_{0}^{a}1dx-\int_{0}^{a}\frac{2x}{a}dx+\int_{0}^{a}% \frac{x^{2}}{a^{2}}dx\right) \\ &=&\frac{bc}{2}\left( a-\frac{2}{a}\int_{0}^{a}xdx+\frac{1}{a^{2}}% \int_{0}^{a}x^{2}dx\right) \\ &=&\frac{bc}{2}\left( a-\frac{2}{a}\frac{a^{2}}{2}+\frac{1}{a^{2}}\frac{a^{3}% }{3}\right) \\ &=&\frac{bc}{2}\left( a-a+\frac{a}{3}\right) \\ &=&\frac{abc}{6} \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Para calcular el volumen de algún objeto, que va desde la altura $z=z_0$ hasta $z=z_1$, puedes usar por ejemplo:

$$\int_{z=z_0}^{z_1} A(z) \ dz$$

donde $A(z)$ es el área del objeto (si tomamos una sección de él) a la altura $z$.

Para la pirámide, podrías integrar a lo largo del eje z, de modo que las áreas se conviertan en triángulos rectángulos. Puedes verificar que en $z = 0$ los lados son $a,b$ mientras que en $z=c$ los lados son $0,0$, y las longitudes de los lados disminuyen linealmente en $z$. Así que a la altura $z$ los lados son $a(1 - \frac{z}{c})$ y $b(1 - \frac{z}{c})$ respectivamente, dando $A(z) = \frac{1}{2} a b (1 - \frac{z}{c})^2$. Rellenando esto en la integral anterior obtenemos

$$\int_{z=0}^{c} A(z) \ dz = \frac{1}{2} a b \int_{z=0}^{c} (1 - \frac{z}{c})^2 \ dz = \frac{1}{2} a b \int_{z=0}^{c} (1 - \frac{2z}{c} + \frac{z^2}{c^2}) \ dz = \frac{1}{2} a b(c - c + \frac{1}{3} c) = \frac{1}{6}abc$$

Otra forma de calcular el volumen sería hacer una triple integral sobre todo el objeto (e integrar 1), y asegurarse de que los límites sean correctos. Tienes que $x,y,z \geq 0$ y además requisitos como $y \leq b(1 - \frac{z}{c})$ y $x \leq a(1 - \frac{z}{c} - \frac{y}{b})$. La integral correcta entonces es:

$$\int_{z=0}^{c} \int_{y=0}^{b(1 - \frac{z}{c})} \int_{x=0}^{a(1 - \frac{z}{c} - \frac{y}{b})} 1 \ dx \ dy \ dz = \frac{1}{6} abc$$

Espero que esto ayude. Esta sería la forma en la que lo haría, pero podría haber maneras más rápidas de hacerlo.