¿Intersección arbitraria de subconjuntos cerrados y conexos de un espacio compacto conexo?

Question

Dejemos que $(B_i)_{i\in I}$ sea una familia indexada de conjuntos cerrados y conexos en un espacio compacto X. Supongamos $I$ está ordenado, de manera que $i < j \implies B_i \supset B_j$ .

Es $B = \bigcap_i B_i$ ¿están necesariamente conectadas?

Puedo probarlo, si asumo $X$ para ser Hausdorff también: Si $B$ no es conectado, entonces hay dos conjuntos disjuntos, cerrados y no vacíos $C$ , $D$ en $B$ , de tal manera que $C \cup D = B$ . Ahora bien, estos conjuntos también son cerrados en $X$ por lo que, por normalidad, existen vecindades abiertas y disjuntas $U$ , $V$ de $C$ y $D$ respectivamente.

Entonces, para todos los $i$ : $B_i \cap U^c \cap V^c \ne \emptyset$ ya que $B$ está contenida en $B_i$ y $B_i$ está conectado. Por lo tanto, también debemos tener

$$ B \cap U^c \cap V^c = \bigcap_i B_i \cap U^c \cap V^c \ne \emptyset $$

por la compacidad y el hecho de que el $B_i$ satisfacen la propiedad de intersección finita. Esto es una contradicción con la elección de $U$ y $V$ .

No veo un contraejemplo para el caso general, ni una prueba. Se agradece cualquier sugerencia.

Gracias,

S. L.

Answer 1

La línea con dos orígenes debería funcionar como contraejemplo. Tomemos la intersección de los intervalos cerrados anidados que contienen ambos orígenes. La intersección son los dos orígenes, que son dos puntos con la topología discreta, por lo que está desconectada.

Edición: Si quieres que el espacio ambiental sea compacto, que sea un intervalo cerrado y acotado que contenga los orígenes. (Gracias a Arturo por señalarlo).

Answer 2

Creo que el siguiente es un contraejemplo: toma $Y=[-1,1]\times\{a,b\}$ , donde $[-1,1]$ tiene la topología estándar, y $\{a,b\}$ la topología discreta, y que $X=Y/\sim$ , $y\sim y'$ si y sólo si existe $x\in[0,1]$ tal que $y=(x,a)$ y $y'=(x,b)$ o $y=(x,b)$ y $y'=(x,a)$ . Es decir, identificar todos los puntos excepto $0$ . Dar $X$ la topología del cociente

Este es el intervalo $[-1,1]$ con "un origen duplicado", un terreno de pruebas común porque el espacio es $T_1$ pero no $T_2$ pero dos puntos cualesquiera que no sean los orígenes duplicados pueden estar separados por vecindades abiertas. (Así que, en cierto sentido, es "casi" Hausdorff; la propiedad Hausdorff sólo falla para una elección de puntos, y hay muchos otros puntos alrededor).

Desde $Y$ es compacto y el mapa cociente es continuo y onto, $X$ es compacto.

Para cada número entero positivo $n$ , dejemos que $\mathcal{B}_n\subseteq Y$ sea el conjunto $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]\times\{a,b\}$ y que $B_n$ sea la imagen de $\mathcal{B_n}$ en $X$ eso es, $B_n$ es el intervalo entre $-\frac{1}{n}$ a $\frac{1}{n}$ incluyendo ambos orígenes.

$B_n$ está cerrado, ya que $X-B_n = [-1,-\frac{1}{n})\cup(\frac{1}{n},1]$ es la unión de dos conjuntos abiertos. También es conexo, porque $B_n$ es la unión de dos subconjuntos conectados (las dos copias del intervalo $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ obtenido al eliminar uno de los dos $0$ s) y los dos subconjuntos se cruzan.

¿Qué es? $\cap_{n=1}^{\infty}B_n$ ? Es un conjunto cuyos dos únicos elementos son los puntos de origen duplicados. Pero este subconjunto de $X$ no está conectado, porque $X$ es $T_1$ por lo que existen vecindades abiertas $U$ y $V$ tal que $(0,a)\in U-V$ y $(0,b)\in V-U$ . Así que $B\subseteq U\cup V$ , $U\cap B\neq\emptyset \neq V\cap B$ y $B\cap U\cap V = \emptyset$ .