Permítame explicar un poco mi comentario.
Esta parte funciona para cualquier suave curva proyectiva $X$ en el carácter $\ne 2$. Una doble cubierta de la $Y\to X$ es dado, como se dijo, por una extensión cuadrática $L$$K={\mathbf C}(X)$. Es elemental, con la consecuencia de que dicha extensión se da siempre por que se adhiere a la raíz cuadrada $z$ de algunos $f\in K$: $L=K[z]$ con $z^2=f$.
Ahora la pregunta es cuando se esta cubierta étale ?
Reclamo: La cubierta de la $Y \to X$ $z^2=f$ es étale si y sólo si el divisor $\mathrm{div}_X(f)$ $f$ es de la forma $$\mathrm{div}_X(f)=2D$$ for some divisor $D$ on $X$.
Es un poco demasiado largo para comprobar todos los detalles aquí, pero podemos ver que si $f$ tiene un cero de orden impar en algún punto de $x_0\in X$, entonces localmente en$x_0$, $z^2=t^du$ donde $t$ es un parámetro en $x_0$, $u$ es una unidad de $O_{X,x_0}$ $d=2m+1$ es un entero positivo impar. Por lo tanto, $t=(z/t^m )^2u^{-1}$ se desvanece en el orden $>1$ en cualquier punto de $Y$ se encuentra por encima del $x_0$, lo $Y\to X$ se ramificó por encima de $x_0$.
La admisión de la anterior afirmación, nuestra tarea ahora es encontrar funciones racionales $f$ $X$ tal que $\mathrm{div}(f)$ tiene sólo ceros y polos de incluso las órdenes (y, por supuesto, para $L$ a ser realmente cuadrática más $K$, $f$ no debe ser un cuadrado de $K$). Equivalentemente, estamos buscando divisores $D$ $X$ tal que $2D\sim 0$$D\not\sim 0$. Un tal $D$ tiene el grado $0$ y su clase en el Jacobiano de $X$ ha pedido exactamente $2$.
Tenga en cuenta que si $D'\sim D$, entonces el étale cubrir asociados a $D'$ es la misma, entonces la asociada a $D$ porque $\mathrm{div}(f')=2D'$ implica que el $f=h^2f'$ algunos $h\in K$ (el campo de tierra debe ser algebraicamente cerrado para esto), por lo $K[\sqrt{f}]=K[\sqrt{f'}]$. Esta dice que el $X$ tiene exactamente $2^{2g}-1$ doble étale cubre, donde $g$ es el género de $X$.
Si eres lo suficientemente paciente para llegar a este punto, podemos empezar a encontrar la deseada $D$ en un hyperelliptic curva de $X$ definido por $y^2=P(x)$, $P(x)$ de grado impar $2g+1$ ($g$ es el género de $X$). Se sabe que las diferencias de los dos puntos de Weierstrass se $2$-torsión en el Jacobiano. Más concretamente, vamos a $a_1, \dots, a_{2g+1}$ ser los ceros de $P(X)$. Entonces $$f_i:=(x-a_1)/(x-a_i), \quad 2\le i\le 2g+1$$ has divisor $2(w_1-w_i)$ where $w_i$ is the Weierstrass point $x=a_i, y=0$ in $X$. If I remember correctly, the $w_1-w_i$ form a basis of the $2$-torsion points over $\mathbb Z/2\mathbb Z$. This means finally that the étale double covers of $$ X están dadas por
$$z^2=\prod_{2\le i\le 2g+1} f_i^{\epsilon_i}, $$ for some $(\epsilon_2, \dots, \epsilon_{2g+1})\(\mathbb Z/2\mathbb Z)^{2 g}\setminus \{ 0\}$. Ahora usted sabe qué hacer con su curva específica.
