Cómo demostrar a $|z_1-z_2| \geq |z_1|-|z_2|$ en otra forma que no sea esta?

Question

Cómo demostrar a $|z_1-z_2| \geq |z_1|-|z_2|$ en otra forma que no sea esta? Me refiero a que he tratado de encontrar en internet, pero no pude encontrar. Pido straighforward manera que la prueba que se presenta para el punto 3.

Answer 1

Utilice el triángulo de la desigualdad en $|z_1| = |(z_1 - z_2) + (z_2)|$.

Answer 2

Deje $z_1=r_1(\cos A+i\sin A)$ $z_2=r_2(\cos B+i\sin B)$

Por eso, $|z_1|=r_1$ $|z_2|=r_2$

$|z_1-z_2|$

$=\sqrt{(r_1\cos A-r_2\cos B)^2+(r_1\sin A-r_2\sin B)^2}$

$=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(A-B)}$

$≥\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2}$ $\cos(A-B)≤1$

$=r_1-r_2$

Por eso, $|z_1-z_2|≥|z_1|-|z_2|$, la igualdad se produce cuando $\cos(A-B)=1$ es decir, cuando se $A=B$

Answer 3

Usted puede usar la multiplicación por el conjugado.

$|Z_1 + Z_2 |^2 = (Z_1 + Z_2)\overline{(Z_1 + Z_2)}$. Por expansión obtendrá

$| Z_1 + Z_2 |^2 = |Z_1|^2 + |Z_2|^2$ + 2 parte Real de $(Z_1 \overline{Z_2})$ $\leq (|Z_1| + |Z_2|)^2$.

A continuación, utilice este resultado, y demostrar restantes.