Mapas entre espacios Eilenberg-MacLane

Question

El otro día estaba releyendo un libro de topología algebraica y me encontré con el siguiente problema:

Supongamos que $\pi$ et $\rho$ son grupos abelianos y $n\geq 1$ . Determine $[K(\pi,n),K(\rho,n)]$ , el conjunto de clases de homotopía (basadas) de mapas entre los correspondientes espacios de Eilenberg-MacLane.

Creo que lo siguiente es una solución: Tenemos dos funtores $K(-,n)$ de grupos abelianos (discretos) a (la categoría de homotopía de espacios topológicos agradables), y $\pi_n = [S^n,-]$ yendo en la otra dirección. Cuando restringimos adecuadamente estos funtores, parecen ser inversos. Por tanto, $[K(\pi,n),K(\rho,n)]\cong \hom_{Ab}(\pi,\rho)$

Tengo dos preguntas. ¿Es la solución correcta, o hay errores en la lógica? Si funciona, ¿hay alguna forma de hacer completamente transparente que los funtores son inversos entre sí? Y si es correcta, si topologizamos adecuadamente $\pi_n(-)$ ¿se extiende esto a los grupos topológicos no discretos?

En segundo lugar, ¿hay una forma diferente de enfocar el problema que ilumine mejor lo que está sucediendo o ilustre un punto importante sobre $K(\pi,n)$ ?

Answer 1

Recordemos que $[X,K(G,n)]=H^n(X;G)$ . Por lo tanto, $[K(\pi,n),K(\rho,n)]=H^n(K(\pi,n);\rho)$ - que (por el teorema de Hurewicz + coeficientes universales) es exactamente $\hom(\pi,\rho)$ .

Answer 2

He aquí un esbozo de una prueba alternativa que no invoca la representabilidad de $H^n$ .

En primer lugar, si $\langle g_1, \dots \mid r_1, \dots\rangle$ es una presentación para $G$ podemos encontrar un complejo CW con $\pi_k(X) = 0$ para $k < n$ et $\pi_k(X) = G$ de la siguiente manera. En primer lugar, observando los grupos de homotopía relativos, se ve con bastante facilidad que $\vee_S S^n$ tiene $\pi_n$ abelianos libres en $|S|$ generadores. Así que cuña en una esfera para cada generador del grupo. Ahora añade un $(n+1)$ -célula cuyo mapa de fijación es $r_1$ ; la homotopía relativa LES de nuevo (+ escisión) muestra que esto mata al relator dado y sólo al relator dado. Ahora haga esto para cada relación, y luego pegue en celdas superiores para matar grupos de homotopía superiores. Esta es una construcción de $K(G,n)$ .

Ahora para un homomorfismo $\varphi: G \to H$ construyamos un mapa continuo $f_\varphi: K(G,n) \to K(H,n)$ induciendo ese mapa en grupos de homotopía. La construcción aquí es bastante obvia: enviar el $n$ -células a donde quiera que vayan los generadores bajo $\varphi$ ; la suposición de que $\varphi$ es un homomorfismo significa que se puede extender este mapa continuamente sobre el $(n+1)$ -células; y el hecho de que $\pi_k(K(H,n)) = 0$ para $k>n$ significa que puede extenderlo continuamente sobre el $(k+1)$ -células.

Ahora, dados dos mapas que inducen ambos $\varphi$ Quiero encontrar un mapa $K(G,n) \times I \to K(H,n)$ que los amplía. Poniendo la estructura celular obvia en $K(G,n) \times I$ Primero se extienden a través de la nueva $(n+1)$ -encontrando una homotopía entre los mapas del $S^n$ s (lo cual es cierto por la suposición de que ambos inducen el mismo mapa en $\pi_n$ ); ahora para las células superiores, la historia es la misma que antes: porque $\pi_k(K(H,n)) = 0$ para $k>n$ podemos ampliarlos automáticamente.

Tenga en cuenta que necesitaba un modelo explícito para $K(G,n)$ aquí, pero no para $K(H,n)$ . Según Whitehead esto implica que si $K'$ es otro modelo complejo de CW para $K(G,n)$ los dos espacios son homotópicos (y por lo demás lo son débilmente); por lo tanto, la misma respuesta se aplica sin importar el modelo que elija para $K(G,n)$ .