Línea de Paquete en subvariedades

Question

He estado teniendo el problema de limitar efectivamente una Línea bundle $L$ definido en algún espacio proyectivo $\mathbb C \mathbb P^{N-1}$ a una subvariedad $X$.

Yo sé cómo hacer esto en un nivel abstracto, pero en realidad la computación de lo que está pasando, parece muy misteriosa.

A partir de Fulton "Intersección de la Teoría" he

$c_1(L) \cap [X] = [C]$ donde $C$ es el divisor correspondiente a $\mathcal O_X(C) \simeq L\vert_X$

Ahora, he a $c_1(L)$ $-N[H]$ donde $[H]$ denota la hyperplane clase en $\mathbb C \mathbb P^{N-1}$. También tengo algunos polinomio $P$ cuyo cero locus define $X$. Incluso sé $c_1(TX) = 0$ y se ha calculado que si $X$ se toma para ser un divisor en $\mathbb C \mathbb P^{N-1}$, la línea correspondiente paquete podría satisfacer $c_1(\mathcal{O}(X)) = N[H]$ (No muy seguro todavía si esta ayuda).

Pero, lo que realmente me gustaría saber es $c_1(L\vert_X)$?

Mis intentos hasta ahora han sido encontrar una sección real $s$$L$, el uso de la ecuación para el cero, el locus y la realidad que se cruzan con $X$. Sin embargo, encontrar una sección que ha demostrado ser difícil.

¿Cómo podría uno suele ir sobre esto? Estoy en el camino correcto? Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

En general (es decir, para la restricción de la línea de paquetes de una variedad a una subvariedad) uno ha $c_1(L_{\vert X}) = c_1(L) \cdot X$ (la intersección, la idea de un divisor en $X$).

En el caso de que uno puede ser más explícita, ya que $L = \mathcal O(d) = \mathcal O(1)^{\otimes d}$ algunos $d$ (todos los paquetes en el espacio proyectivo son de este formulario). Por lo tanto, si dejamos $H_X$ denotar un genérico hyperplane sección de $X$, luego $c_1(L_{\vert X}) = d H_X$.