Un problema sobre una secuencia y la factorización de primos

Question

Hace mucho tiempo resolví el siguiente teorema

Dejemos que $p_1,p_2,\ldots,p_k$ sean primos distintos. Sea $\{a_i\}^\infty_{i=1}$ sea la secuencia creciente de enteros positivos cuya factorización de primos contiene sólo estos primos (no necesariamente todos). Demuestre que $\forall c>0\exists n\in \mathbb{N}:a_{n+1}-a_n>c$

Solución. Dejemos que $m$ sea un número entero tal que $p^m_i>c$ para todos $i=1,2,\ldots,k$ . Sea $a_n=(a_1a_2\ldots a_k)^m$ . Como $a_{n+1}>a_n$ existe un primo $p_j$ tal que $p_j^m|a_{n+1}$ . Entonces $p^m|a_{n+1}-a_n$ de la cual $a_{n+1}-a_n>c$ .

Entonces un amigo me dijo que esta versión más fuerte también es cierta.

Dejemos que $p_1,p_2,\ldots,p_k$ sean primos distintos. Sea $\{a_i\}^\infty_{i=1}$ sea la secuencia creciente de enteros positivos cuya factorización de primos contiene sólo estos primos (no necesariamente todos). Demuestre que $\forall c>0\exists n_c\in \mathbb{N}:n>n_c\implies a_{n+1}- a_n>c$

He intentado resolverlo pero no he podido. Estoy 90% seguro de que la versión más fuerte también es cierta. Me interesan las soluciones elementales pero una compleja también es bienvenida.

Answer 1

Este es el resultado de Thue. Para una información mucho más sólida, véase el artículo de 1973 "On integers with many small prime factors" (Tijdeman, Compositio Mathematica).

Answer 2

Esto no es del todo una respuesta, pero posiblemente sea un empujón en la dirección correcta. Me acordé de la siguiente bella idea para demostrar que la suma recíproca de $a_i$ debe ser finito:

Recordemos por la fórmula del producto de Euler que $\prod_{i=1}^\infty \left(1-\frac{1}{q_i}\right)^{-1}=1+1/2+1/3+\ldots=\infty$ donde $q_i$ es el $i'th$ primo. Observa que para tu problema sólo tienes $p_1,\ldots,p_k$ . Entonces,

$S:=\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)^{-1}$ es la suma de los recíprocos de todos los números cuyos factores son $p_1,\ldots,p_k$ . Obsérvese que, a diferencia del producto de Euler completo, $S<\infty$ . Entonces

$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{a_i}\leq \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)^{-1} <\infty$

Por lo tanto, la suma de los recíprocos de $a_i$ converge. Así que por la prueba de la proporción, debemos tener que $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\leq 1$ . De hecho, este resultado es inherentemente obvio, ya que $a_n\leq a_{n+1}$ en primer lugar, pero la cuestión es que pensar en ello en términos de una suma puede ser útil.

Ahora, supongamos que existe $c\geq 1$ con $a_{n+1}-a_n>c$ para todos $n$ . Entonces, reordenando esto y utilizando el hecho de que $a_n$ es estrictamente creciente da

$1>\frac{a_n}{a_{n+1}}>1-\frac{c}{a_{n+1}}$

El problema es que nos gustaría concluir con una contradicción que $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}>1$ pero, en realidad obtenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=1$ y la igualdad a 1 nos da un resultado indeterminado de la prueba de proporción. Tal vez alguien más inteligente que yo pueda demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}/a_{n+1}<1$ lo que implicaría el resultado más fuerte tomando el límite a lo largo de una subsecuencia $n_i$ para lo cual $a_{n_{i+1}}-a_{n_i}> c$ . Mi esperanza inicial era tratar de demostrar que la suma debe divergir si el límite es 1.