Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$ tal que $x^2 \in H$ , $\forall x\in G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$

Question

Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$ tal que $x^2 \in H$ , $\forall x\in G$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$

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He intentado usando la definición, pero fracasó.alguien me puede ayudar por favor.

Answer 1

$H$ es un subgrupo normal de $G$ $\iff \forall h\in H \forall g\in G:g^{-1}hg \in H$

$g^{-1}hg=g^{-1}g^{-1}ghg=(g^{-1})^2h^{-1}hghg=(g^{-1})^2h^{-1}(hg)^2\in H(hg\in G \to (hg)^2\in H)$ $$g^{-1}hg \in H$$

Answer 2

Como empecé a corregir mi anterior post: Consejos

$$\begin{align*}\bullet&\;\;\;G^2:=\langle x^2\;;\;x\in G\rangle\lhd G\\ \bullet&\;\;\;G^2\le H\\ \bullet&\;\;\;\text{The group}\;\;G/G^2\;\;\text{is abelian and thus}\;\;G'\le G^2\end{align*}$$