Deje $f:\>{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$ $g:\>{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}$ $f(0)=g(0)=0$ ser lo suficientemente suave en un barrio de la $\Omega$$0$, y se supone que hay una función suave $U$ definida en una vecindad de a $0$ tal que
$$f(x)=U\bigl(g(x)\bigr)\qquad\forall x\in \Omega\ .\tag{1}$$
A continuación, la regla de la cadena implica inmediatamente
$$\nabla f(x)=U'\bigl(g(x)\bigr)\>\nabla g(x)\qquad\forall x\in \Omega\ ,$$saying that at each point $x\in \Omega$ los dos gradientes necesariamente apuntan en la misma dirección. Ahora estamos buscando un contrario a este principio. Resulta que la condición en la que nos encontramos es también suficiente:
Teorema. Suponga $f$ $g$ como antes, y, además, que los $\nabla g(x)\ne0$$\Omega$. Si hay una función suave $\lambda: \>\Omega\to{\mathbb R}$ tal que
$$\nabla f(x)=\lambda(x)\>\nabla g(x)\qquad\forall x\in \Omega\tag{2}$$
a continuación, $(1)$ es para una adecuada función de $U$ en un tal vez de menor vecindario $\Omega'$.
Prueba. La escritura de $(2)$ en los componentes que tenemos
$$f_{.i}(x)=\lambda(x)\>g_{.i}(x)$$
para todos los $i\in[n]$ y por lo tanto
$$0=f_{.ik}(x)-f_{.ki}(x)=\lambda_{.k}(x)\>g_{.i}(x)-\lambda_{.i}(x)\>g_{.k}(x)$$
para todos los $i$$k$. Esto dice que la matriz
$$\left[\matriz{\lambda_{.1}(x)&\cdots&\lambda_{.n}(x)\cr
g_{.1}(x)&\cdots&g_{.n}(x)\cr}\right]$$
tiene rango de $\leq1$ todos los $x$, y como $\nabla g(x)\ne 0$ esto significa que existe una función escalar $\mu$ con
$$\nabla \lambda(x)=\mu(x)\>\nabla g(x)\qquad(x\in\Omega)\ .\tag{3}$$
Demanda: La función de $\lambda$ es constante en cualquier hipersuperficie $S_\eta:=\{x\in\Omega\>|\> g(x)=\eta\}$.
Prueba. Si $\gamma: \>t\mapsto x(t)$ es una curva en un $S_\eta$$\nabla g\bigl(x(t)\bigr)\cdot x'(t)\equiv0$. De $(3)$ se deduce que el pullback $\hat\lambda(t):=\lambda\bigl(x(t)\bigr)$ ha derivado
$$\hat\lambda'(t)=\nabla\lambda\bigl(x(t)\bigr)\cdot x'(t)=\mu\bigl(x(t)\bigr)\nabla g\bigl(x(t)\bigr)\cdot x'(t)\equiv0\ .$$
Esto demuestra que $\lambda$ es constante a lo largo de $\gamma$.
Podemos suponer que la $g_{.n}(0)\ne0$. A continuación, el mapa
$$\phi:\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\mapsto y=(y_1,\ldots, y_n):=\bigl(x_1,x_2,\ldots, x_{n-1},g(x)\bigr)$$
ha Jacobiana $J_\phi(0)=g_{.n}(0)\ne0$ y por lo tanto posee un suave inversa
$$\psi:\quad (y_1,\ldots, y_n)\mapsto (x_1,\ldots, x_n):=\bigl(y_1,\ldots, y_{n-1}, \psi_n(y)\bigr)$$
se define en un barrio de $y=0$. Ahora podemos definir la función
$$\eta\mapsto u(\eta):=\lambda\bigl(0,\ldots,0,\psi_n(\eta)\bigr)\ ,$$
que es suave en un barrio de $\eta=0$.
Reclamo: Para que esta función se $u$ uno tiene
$$\lambda(x)=u\bigl(g(x)\bigr)\tag{4}$$
en un barrio de $x=0$.
Prueba. Considere la posibilidad de un punto arbitrario $x$ y poner $g(x)=:\eta$. A continuación, $x$ se encuentra en $S_\eta$, y también lo hace el punto de $p_\eta:=\bigl(0,\ldots,0, \psi_n(\eta)\bigr)$. Desde $\lambda$ es constante en $S_\eta$ se sigue que
$$\lambda(x)=\lambda(p_\eta)=u(\eta)=u\bigl(g(x)\bigr)\ .$$
Deje $U$ ser una primitiva de $u$$U(0)=0$. Me dicen que uno ha $f=f^*$ con
$$f^*(x)=U\bigl(g(x)\bigr)$$
en un barrio de $\Omega'$$0$. Para la prueba es suficiente para el cálculo del gradiente de $f^*$. Por medio de la $(4)$ obtenemos
$$\nabla f^*(x)=U'\bigl(g(x)\bigr)\>\nabla g(x)=u\bigl(g(x)\bigr)\>\nabla g(x)=\lambda(x)\>\nabla g(x)=\nabla f(x)\ .$$
