Considere $ v_1 $ y $ v_2 $ :
$ \{v_1 \in \mathbb{R}^m\mid v_1 = (x_1,x_2,...,x_{m})\}\\ \{v_2 \in \mathbb{R}^{m+1}\mid v_2 = (x_1,x_2,...,x_m,0)\} $
Es $v_1 = v_2$ aunque pertenezcan a espacios diferentes o en este caso, $ \mathbb{R}^m = \mathbb{R}^{m+1}$ cuando la última coordenada es 0?
Estrictamente hablando, $(v_1,\ldots,v_m,0)\ne (v_1,\ldots,v_m)$ . Por otra parte, el mapa inyectivo obvio $\iota\colon\Bbb R^m\to \Bbb R^{m+1}$ se ve a veces como algo tan natural que a veces identificar la imagen $\iota(\Bbb R^m)$ y $\Bbb R^m$ y decir, por ejemplo $\Bbb R^m\subseteq \Bbb R^{m+1}$ (en lugar de, más correctamente $\iota(\Bbb R^m)\subseteq \Bbb R^{m+1}$ ). En este contexto, también identificaríamos $(v_1,\ldots,v_m)$ con $\iota(v_1,\ldots,v_m)=(v_1,\ldots,v_m,0)$ y decir que son iguales.
Hay contextos en los que esto resulta muy natural, como cuando construimos, por ejemplo, los racionales como clases de equivalencia de pares de enteros y, sin embargo, vemos los enteros como subconjunto de los racionales; cada paso de $\Bbb N\subset\Bbb Z\subset \Bbb Q\subset \Bbb R\subset \Bbb C$ es de este tipo: Construimos el objeto mayor a partir del menor e identificamos el conjunto original con su copia de aspecto diferente en el conjunto mayor. Sin embargo, para el caso que nos ocupa $\Bbb R^m\to\Bbb R^{m+1}$ La incrustación puede ser lo primero que se nos ocurra, pero no es realmente natural. Por lo tanto, aquí prefiero no hacer la identificación (a menos que se mencione específicamente la elección de la incrustación).
Como nota al margen, dejemos que $V$ sea un espacio vectorial cualquiera, $v\in V$ cualquier elemento, y $\alpha$ cualquier objeto con $\alpha\notin V$ (por ejemplo, el perro de mi vecino). Entonces podemos definir un espacio vectorial $V'$ que contiene $\alpha$ en lugar de $v$ . De esta manera, podemos construir fácilmente espacios vectoriales que tengan elementos arbitrarios en común (y de hecho los mismos elementos desempeñando diferentes "papeles" en los diferentes espacios vectoriales)
Me gusta esta respuesta. ¿Podría decir que para los subespacios $U_{1}$ y $U_{2}$ de $V$ con bases $B_{1}$ y $B_{2}$ respectivamente, entonces cualquier vector en $\text{Span}\left( B_{1} \cap B_{2} \right)$ está en $U_{1}$ y en $U_{2}$ ? Entonces podría hacer fácilmente diferentes espacios vectoriales $U_{1}$ y $U_{2}$ que son diferentes pero que tienen una intersección no trivial.
Uno puede obtener "elementos arbitrarios en común" más fácilmente: Basta con considerar un espacio de dimensión superior a 1, y subespacios estrictos que contengan cualquier vector dado.
La presunción de que dos espacios vectoriales diferentes pueden contener el mismo vector es correcta. Por ejemplo, si consideramos subespacios distintos, aunque superpuestos, del mismo espacio vectorial, entonces ciertamente contienen un vector común. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ el $xy$ -y el $x$ -tienen todos sus vectores en común, pero son subespacios distintos. Supongo que depende de las condiciones que quieras que cumplan tus subespacios.
En tu ejemplo, yo no diría que los vectores son los mismos, ya que el espacio en el que vemos el vector es importante. En cambio, diría que
$$ v_2 \;\; =\;\; \left [ \begin{array}{cc} v_1 & 0 \\ \end{array} \right ]. $$
Son intrínsecamente diferentes, ya que son objetos de dimensiones diferentes, aunque contengan "casi" la misma información.
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Son objetos claramente diferentes. Pero a menudo consideramos un espacio vectorial como incrustado en otra, lo que nos permite identificar de forma natural los objetos de una con los de la otra.
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Me pregunto, ¿por qué no $(x_1,x_2,\ldots,x_m)=(0,x_1,x_2,\ldots,x_m)$ o incluso $(x_1,x_2,\ldots,x_m)=(x_1,x_2,0,x_3,\ldots,x_m)$ ? Estas incrustaciones de $\mathbb R^m$ en $\mathbb R^{m+1}$ rara vez o nunca se mencionan, pero ¿es esto por alguna razón de "sustancia" matemática o es sólo una cuestión de preferencia y estilo?