He estado pensando acerca de qué tipo de salvajes que no se pueden medir las funciones que se pueden definir. Esto me llevó a la pregunta:
Es posible demostrar en ZFC, que si un (Edit: measurabel) set $A\subconjunto \mathbb{R}$ es positiva Lebesgue-medida, tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$? Es obvio que si usted asume la CH, pero puedes probarlo sin CH?
He encontrado la respuesta en el papel de "Medir y cardinalidad" por Briggs y Schaffter. En resumen: no se si interpretar medida positiva para significar positivos exterior de la medida. Una prueba de que cada medibles subconjunto de cardinalidad menor que la de $\mathbb{R}$ tiene medida de Lebesgue cero. Sin embargo, a continuación, los resultados de la encuesta de Solovay que muestran que hay modelos de ZFC en el que CH falla y cada subconjunto de cardinalidad menor que la de $\mathbb{R}$ es medible, y que hay modelos de ZFC en el que CH falla y hay subconjuntos de cardinalidad $\aleph_1$ que son nonmeasurable. Por lo que es indecidible en ZFC.
Si era la intención de que nuestros juegos se supone que ser medible, entonces la respuesta sería sí por la primera parte de arriba.
Edit: a la luz de los comentarios por parte de la fundación Konrad he añadido un par de líneas para aclarar.
No estoy seguro de si esta respuesta puede ser útil o no, pero ya que es un muy elemantary planteamiento del problema, puede ser útil. Suponemos que dado un subconjunto de R, como Una de cardinalidad menor que R. Entonces se puede mostrar que la cardinalidad de a y a+a para cualquier conjunto infinito es el mismo. Por lo tanto la cardinalidad de a+a es igual a la cardinalidad de Un menor que R. Pero se puede demostrar que para cualquier conjunto de medida positiva, a+a tiene al menos un intervalo abierto como un subconjunto. Esta va a ser una contradicción con el hecho de que la cardinalidad de A+a es menor que R.
Estoy interpretación de la pregunta como: Medibles, con medida positiva, no como "positivos exterior de la medida" (para la cual la respuesta es independiente de los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, como señala Joel).
La respuesta es sí. Por elemental propiedades de la medida de Lebesgue (regularidad), para todo $\epsilon>0$, $C$ de medida positiva contiene subconjuntos compactos de $C_\epsilon$ de medida dentro de los $\epsilon$ de la medida de $C$ (interpretar esto como "arbitrariamente grande" si $C$ ha medida infinita). Cualquier conjunto de medida positiva es, obviamente, incontables. Es sencillo ver que una compacta multitud innumerable de los reales contiene un conjunto perfecto, y que la perfecta conjuntos tienen el mismo tamaño que el de los reales. Por lo tanto, $C$ debe tener también el tamaño de los reales. (Supongo que el último paso se utiliza el Schröder-Bernstein teorema.)
(En una nota de lado, Cantor demostró el resultado que se cerró innumerables subconjuntos de ${\mathbb R}$ tiene el tamaño de los reales. Esto se extiende a las más grandes colecciones de conjuntos, por ejemplo, a todos los innumerables conjuntos de Borel. El primer enfoque del continuo de hipótesis para tratar de mantener en la ampliación de este resultado).
A ver que perfecto conjuntos tienen el tamaño de los reales: Compruebe que cualquier conjunto perfecto tiene una "copia" de Cantor el conjunto; esta es la norma; la bebé Rudin, esencialmente, se muestra cómo en un ejercicio en el Capítulo 1 o 2. Cantor, por construcción, obviamente, tiene un tamaño de $2^{|{\mathbb N}|}$. Compruebe que los reales también tienen este tamaño, por ejemplo, al darse cuenta de que ${\mathbb R}$ y $(0,1)$ tienen el mismo tamaño, y la identificación de reales en $(0,1)$ con su infinito binario de expansión. Supongo que esto también puede utilizar Schröder-Bernstein, dependiendo de cómo uno de los encarnados de este esquema.
La respuesta a la pregunta es que es independiente de ZFC, si uno está hablando de exterior de la medida.
El contexto adecuado para la pregunta y su respuesta es muy activa de investigación en el área conocida como el Cardenal Características de la secuencia. El punto de este tema es para investigar exactamente cómo la dicotomía entre lo contable y continuo juega en situaciones cuando CH falla. Por ejemplo, en esta área, a los investigadores a definir una serie de cardenal invariantes:
La delimitación número b es el tamaño de la más pequeña ilimitado de la familia de funciones de ω ω. No hay ninguna función que los límites de cada miembro de la familia.
El que domina número d es el tamaño de la más pequeña dominante de la familia de funciones ω ω. Cada función está dominado por un miembro de la familia.
La aditividad número de medida es el número más pequeño de medida cero conjuntos de cuya unión no es de medida cero.
El que cubre el número de medida es el menor número de conjuntos de medida cero, cuya unión es todo R.
La uniformidad número para medir el tamaño de la más pequeña de no medir el ajuste a cero.
El cofinality número de medida es el tamaño más pequeño de una familia de conjuntos de medida cero, de tal forma que cada conjunto de medida cero está contenida en uno de ellos.
Sorprendentemente, ninguno de estos números se puede probar igual a cualquier otro. Además, hay modelos de la teoría de la separación de cada uno de ellos, tanto desde ω1 y de la continuidad. En el caso de la uniformidad número, esta es la respuesta que Jonas Meyer ha señalado anteriormente.
Se puede definir un número similar utilizando el ideal de escasos conjuntos en el lugar del ideal de conjuntos de medida cero, y las relaciones entre todos estos cardenal características son, precisamente, expresada por Cichon del diagrama. En particular, no hay dos de ellos seguramente son iguales, y hay modelos de la teoría de conjuntos exhibiendo la amplia variedad de posibles relaciones.
Hay docenas de otros cardenal características, cuyas relaciones son el foco de un intenso estudio de conjunto de los teóricos que trabajan en esta área. La herramienta principal para la separación de estos cardenal características es el método de forzar y especialmente a afirmar forzar.
Un conjunto de medida positiva contiene un subconjunto cerrado de medida positiva. Se sabe que el subconjunto cerrado de reales pueden tener cardinalidad, ya sea continuo o en la mayoría de los contables (http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set_property)
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