Diferencia entre Homología y Cohomology

Question

Homología y cohomology son similares, porque el último es el ex actuado por $\text{hom}$ functor, y también tenemos

Teorema Deje $C$ $D$ ser libre de los complejos de la cadena; deje $\phi:C\to D$ ser una cadena de mapa. Si $\phi$ induce la homología isomorphisms en todas las dimensiones, a continuación, $\phi$ induce cohomology isomorfismo en todas las dimensiones.

Es decir, si no podemos utilizar el homología distinguir dos el espacio, para hacer cohomology.

Sin embargo, mi profesor nos dijo que la diferencia esencial entre ellos es la estructura de anillo en el cohomology. Así que mis preguntas son

• Podemos introducir una taza de producto en la homología? Si no, ¿por qué?

• ¿Por qué es la estructura de anillo diferencia esencial entre ellos?

Cualquier consejo es útil. Thx.

Answer 1

Deje $X$ a un y $k$ a un campo. Un juguete modelo de homología es la libre $k$-espacio vectorial $k[X]$$X$, mientras que un juguete modelo para cohomology es el $k$-espacio vectorial $k^X$ funciones $X \to k$. (De hecho, estas son la homología y la cohomology, respectivamente, de $X$ considerado como un espacio discreto.) Por ejemplo:

• $k[X]$ es covariante con respecto a los mapas de conjuntos, mientras que $k^X$ es contravariante.
• $k^X$ es el espacio vectorial dual de $k[X]$ (análogo a la universal coeficientes para cohomology).
• Podemos identificar a $k^X$ $k[X]$ al $X$ es finito, pero no en general (de forma análoga a la dualidad de Poincaré).
• $k^X$ tiene una estructura de álgebra mientras que $k[X]$ lugar tiene un coalgebra estructura.

Pensando en el caso de que $X$ es un conjunto infinito es particularmente instructivo. Hay que ver que la diferencia básica es que la homología de las clases son "de forma compacta compatible": viven en subconjuntos finitos de $X$, mientras que cohomology clases pueden vivir en todos los de $X$. Este es un importante intuición para la comprensión de la declaración de la dualidad de Poincaré en un no-necesariamente-compacto colector.

Answer 2

Tal multiplicativo emparejamientos en la homología, no suelen surgir a través de la copa del producto. Sin embargo, generalmente no surgen de forma natural y también si es así, es más difícil introducir, por ejemplo, en términos de bien-definedness. Tal vez usted quiere buscar el término "intersección de la forma", que es el doble a la copa del producto.

Nota: Cohomology surge por la aplicación de $hom$ a la cadena original complejo, no en la homología. Resulta, que siempre hay una relación entre esos dos, pero sólo en algunos casos cohomology surge por la aplicación de $hom$ de homología.

Estás en lo correcto, que cohomology interpretado como una gradual módulo/grupo podría no dar más información respecto a la resultante de los módulos. Sin embargo, un functor se da también en los mapas, que es una herramienta adicional que en realidad te puede dar información adicional (si tiene), puedes ver un ejemplo aquí.

Por último, puede ser interesante para usted para ver un ejemplo sobre por qué el graduado de la estructura del anillo podría ser importante. Por ejemplo, se esperaría que el de la copa del producto a comportarse natural en virtud de la cuña de la suma. Así que consideren $S^2 \vee S^4$ también $\mathbb CP^2$. Tenemos la misma cohomology y homología gradual módulo: $\mathbb Z,0,\mathbb Z , 0 ,\mathbb Z,0,0\cdots$. Así que no hay manera de distinguirlos. Pero teniendo en cuenta que el graduado de la multiplicación de la estructura de cohomology, resulta que el generador de $H^2(S^2\vee S^4)= H^2(S^2) \oplus H^2(S^4)$ que surge de la $S^2$ no cuadrado a un no-trivial elemento en $H^4$, debido a que este es generado por un elemento que viene de $S^4$. Así que los (las dimensiones 2 y 4) son bastante independientes, básicamente, nos superficialmente enclavado junto a las esferas de imitar $CP^2$'s cohomology módulo. Sin embargo, tenemos el caso de que un generador de $H^2(CP^2)$ plazas a un generador de $H^4(CP^2)$. Ahora bien, si se sabía que cohomology es un functor con diferentes anillos, es decir, la multiplicación se comporta natural en virtud de mapas, sabemos que esos espacios no pueden ser equivalentes.

Answer 3

Hay un montón de respuestas diferentes a esta pregunta en un montón de diferentes niveles de complejidad, de modo que voy a elegir uno: Cohomology es representable functor. Por razones de resumen tonterías (Brown teorema de representabilidad, por ejemplo), existe un espacio de $K = K(A, p)$ tal que $H^p(X, A) = [X, K]$, el espacio de los mapas de $X \to K$ modulo homotopy, para cualquier $X$. (Estoy trabajando en la categoría de, digamos, CW-complejos con punto de base en todo.) Que nos permite, por ejemplo, para el estudio de cohomology de operaciones, que son naturales transformaciones $\theta:H^n(\cdot, A) \to H^m(\cdot, A')$. Debido a la más abstracta de tonterías, que puede ser identificado con el cohomology de la Eilenberg-MacLane espacios de $K$. El más conocido de estos son probablemente los Steenrod plaza y sus variantes.

Para introducir un producto en la homología, podemos considerar el mapa de $C_*(X) \to C_*(X) \otimes C_*(X)$ participan en la definición de la copa del producto, con coeficientes en algunas anillo fijo $A$. (Por homología simplicial, se da por la descomposición de una $n$-simplex en su parte delantera $p$-la cara y la espalda $(n-p)$-cara, pero es más fácil escribir de manera algebraica.) Para cohomology, trabajamos con los duales de los grupos, obteniendo así un mejor mapa de $C^*(X) \otimes C^*(X) \to C^*(X)$, lo que en última instancia conduce a un mapa de $H^*(X) \otimes H^*(X) \to H^*(X)$. \En la homología, estamos atascados con el mapa de $C_*(X) \to C_*(X) \otimes C_*(X)$ sí. Eso no es exactamente horrible; podemos hacer $H_*(X)$ a un co-álgebra con ella. Si estamos trabajando a través de una compacta, orientada al colector con coeficientes en un campo, no hay ninguna diferencia real de todos modos, debido a la dualidad de Poincaré.