¿La secuencia de $1,-1,1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,\ldots$ tiene una forma cerrada?

Question

Pregunta : ¿se Puede representar de la siguiente secuencia $\{a_n\}\ (n\ge 0)$ como una forma cerrada?$$a_n : 1,-1,1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,\ldots$$ Suppose that there exist ${(i+1)}$ $1_s$ between the $i_{th}$ $(-1)$ and ${(i+1)}_{th}$ $(-1)$ for $i=1,2,\cdots$.

Aunque he pensado acerca de esto, estoy en la dificultad. Alguien puede ayudar? Una forma más simple es mejor si formas cerradas existe.

Motivación : he sabido que un periódico de la secuencia puede ser representado como una forma cerrada. Por ejemplo, si una secuencia $\{b_n\}\ (n\ge0)$ se define como $$b_n : 1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,\ldots,$$ (Suponga que el $b_n=-1\ (n\equiv 4),b_n=1\ (n\not\equiv 4)\ ($mod$ 6$))

entonces podemos representar a $\{b_n\}$ $$b_n=\frac 13\left(2+(-1)^n+2\cos\frac{n\pi}{3}-2\cos\frac{2n\pi}{3}\right).$$ Entonces, me interesé en la secuencia de arriba $\{a_n\}$. Me estoy enfrentando dificultades, ya que las $\{a_n\}$ no es periódica.

Answer 1

$$a_n=-(-1)^{\left\lceil\frac{-3+\sqrt{8n+9}}{2}\right\rceil-\left\lfloor\frac{-3+\sqrt{8n+9}}{2}\right\rfloor}.$$

o

$$a_n=-\cos\pi\left( {\left\lceil\frac{-3+\sqrt{8n+9}}{2}\right\rceil-\left\lfloor\frac{-3+\sqrt{8n+9}}{2}\right\rfloor} \right).$$

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La idea básica de encontrar este formulario es encontrar un modelo de lugar de $-1$ se produce. Por simple cálculo, podemos encontrar que $-1$ se produce cuando $n=\frac{1}{2}k(k+1)+k$ algunos $k$.

Vamos que encontrar una función $f$ satisfacer ese $f(\frac{1}{2}(k^2+3k))$ es impar y lo contrario $f(n)$ es incluso. Si podemos encontrar esta función podemos definir una secuencia $a_n=(-1)^{f(n)}$. Pero sabemos que $$ \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\begin{cases} 0 & \text{if %#%#% is integer }\\ 1 &\text{otherwise}\end{casos} $$

y $x$. En ese caso, $\frac{1}{2}(n^2+3n)=x\Longleftarrow x= \frac{-3+\sqrt{8x+9}}{2}$ es un entero iff $x$ algunos $x=\frac{1}{2}(k^2+3k)$. Así que si definimos $k$, entonces podemos obtener la función deseada.

Answer 2

Para empezar, queremos una función $f:\mathbb R \rightarrow \{0,1\}$ que puedo decir de enteros no-enteros. Por ejemplo:

$$f(x) = \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$$

que es $0$ o $1$ $x$ es un número entero o no.

A continuación, queremos una función de $g:\mathbb N \rightarrow \mathbb R$ que es un número entero sólo cuando su argumento es de $\{1,4,8,13,19,\ldots\}$ (es decir, cuando $a_n = -1$). Por ejemplo:

$$g(n)=\sqrt{8n+17}$$

Ahora es muy fácil: sólo tome $a_n = 2f(g(n)) - 1$.