Describir la Corona de producto categóricamente.

Question

Los Detalles:

Vamos a tener una recapitulación de algunas de las definiciones (tomado de "Nueve Capítulos, en el Semigroup Arte" (pdf), por A. J. Cain).

Definición 1: Vamos a $P$ ser un semigroup. A la izquierda de la acción de $P$ sobre un conjunto $X$ es una operación $\cdot:P\times X\to X$ tal que $(pq)\cdot x=p\cdot (q\cdot x)$ para todos los $x\in X$, $p, q\in P$.

Tal izquierda semigroup acción define un anti-homomorphism $\psi:P\to\mathcal{T}_X$ mediante el establecimiento $x(p\psi)=p\cdot x$ (de modo que para todo p, q, tenemos $(pq)\psi=(q\psi)(p\psi))$.

Si $X$ es un semigroup, a la izquierda de la acción de $P$ $X$ hechos por endomorphisms si para todas las $p\in P$,$x\psi\in\operatorname{End}(X)$, por lo que da $x, y\in X$, $$xy\cdot p=(x\cdot p)(y\cdot p).$$

En este caso, el semidirect producto de $P$ $X$ con respecto al $\psi$, denotado $X\rtimes_{\psi} P$, es el producto Cartesiano $X\times P$ bajo $$(x_1, p_1)(x_2, p_2)=(x_1(p_1\cdot x_2), p_1p_2).$$

Definición 2: Deje $S$ $T$ ser semigroups. A continuación, la Corona de producto de $S$$T$, denotado $S\wr T$, está dada por la semidirect producto $S^T\rtimes_\varphi T$ con respecto al $\varphi$ donde $S^T$ es el producto directo de la set $S$ indexados por $T$ $\varphi:T\to \mathcal{T}_{S^T}$ es el anti-homomorphism asociado con la izquierda acción $\cdot:T\times S^T\to S^T$ tal que para todo $x, y\in T, f\in S^T$, $$^yf:=y\cdot f\quad\text{and}\quad (x)\cdot\, ^yf=(xy)\cdot f=\,^{xy}f.$$

Así es $S^T\times T$ bajo $$(f_1, s_1)(f_2, s_2)=(f_1 \,^{s_1}f_2, s_1s_2).$$

La Pregunta:

Todo esto parece sugerente (para mí) de la exponenciación en alguna categoría de semigroups pero no puedo por la vida de averiguar los detalles de eso. El anti-homomorphism lanza una llave en las obras. Tal vez hay alguna retirada de los involucrados . . . De todos modos, para este fin, he aquí mi pregunta.

Hay una descripción categórica de la Corona producto de dos semigroups?

Ayuda por favor :)

"¿Por qué pedir?"

Porque (soy curioso y) yo me pregunto si no me ayudaba a entender la Corona de producto mejor. Yo estaría muy agradecido por la respuesta que arroja luz sobre cómo esto se conecta con el grupo de teoría de la analógica.

Answer 1

Me deja trabajar sólo con los grupos para el bien de la familiaridad.

La corona de producto se define mediante la semidirect producto, por lo que el primer paso es entender el semidirect producto categóricamente. Yo afirmación de que la manera correcta de entender el semidirect producto no es categóricamente, pero de mayor categóricamente, y también que la correcta más alta categoría de la perspectiva que deja en claro que la semidirect producto no es un producto. La afirmación básica es la siguiente:

Deje $\varphi : G \to \text{Aut}(H)$ ser una acción de un grupo de $G$ sobre grupo $H$. A continuación, el semidirect producto $H \rtimes G$ es el homotopy cociente de $H$ por la acción de la $G$.

En otras palabras, la semidirect producto no es un límite o una colimit, pero un 2-colimit (de hecho es el más simple interesante ejemplo que conozco de un 2-colimit).

¿Qué significa esto? De manera más general, dejar que un grupo de $G$ acto por el automorfismos de un objeto $c$ en una categoría arbitraria $C$. El ordinario cociente de $c$ $G$ es el colimit de la correspondiente diagrama de $BG \to C$ donde $BG$ es el objeto de la categoría correspondiente a $G$. Explícitamente, es un objeto $c_G$ tal de que no son naturales bijections

$$\text{Hom}(c_G, d) \cong \text{Hom}(c, d)^G.$$

Más explícitamente, morfismos $c_G \to d$ $G$- invariante morfismos $c \to d$ donde $G$ actúa en $\text{Hom}(c, d)$ por precomposición (este es un derecho de acción). Aún más explícitamente, en una concreta categoría de esto significa que los morfismos $c_G \to d$ son morfismos $c \to d$ que toma el mismo valor en $G$de las órbitas.

En particular, nos puede dejar a $C = \text{Grp}$ y esto nos da una noción de cociente de un grupo por la acción de un grupo. Sin embargo, esta construcción es poco comportaron: explícitamente, si $\varphi : G \to \text{Aut}(H)$ es un grupo de acción, entonces el cociente es el cociente de $H$ por las relaciones $\varphi(g) h = h$ todos los $g \in G, h \in H$, y esta construcción se suelen destruir una gran cantidad de información acerca de la acción del grupo.

Pero es posible hacer algo menos violento. En el mundo de la homotopy teoría, menos violento alternativa a la identificación de dos puntos de un espacio es poner una ruta entre ellos, que identifica a homotopy; esta idea conduce a cosas como la asignación de cono. Yo reclamo que podemos hacer el mismo tipo de cosa con grupos, gracias a la siguiente observación importante:

Los grupos se forman por naturaleza un 2-categoría, no sólo una categoría.

Esto es debido a que los grupos de $G$ son secretamente a sí mismos categorías $BG$ con un objeto. Functors entre estas categorías dé homomorphisms, pero podemos hablar no sólo sobre functors pero sobre natural transformaciones. Es un ejercicio muy bueno para probar el siguiente.

Reclamo: Vamos a $\varphi_1, \varphi_2 : G \to H$ ser un par de morfismos entre los grupos. A continuación, una transformación natural $\varphi_1 \to \varphi_2$ es precisamente un elemento $h \in H$ tal que $\varphi_2(-) h = h \varphi_1(-)$, o, equivalentemente, tal que $\varphi_2(-) = h \varphi_1(-) h^{-1}$.

La topológico de la imagen aquí es pensar de $G, H$ como fundamentales en los grupos de base de los espacios de $X, Y$, por lo que el $\varphi_1, \varphi_2$ son inducidos por los dos mapas basados $f_1, f_2 : X \to Y$, y queremos entender al $\varphi_1, \varphi_2$ son de libre homotópica (para un homotopy que ignora el basepoints). Lo que puede suceder es que en un homotopy de $\varphi_1$ $\varphi_2$el punto de base puede viajar alrededor de un trivial bucle en $Y$, que es precisamente el elemento $h$ por encima.

La idea ahora es que en lugar de obligar a los dos elementos de la $h_1, h_2$ de un grupo a ser igual en un cociente, podemos "poner un camino entre ellos" colindando un nuevo elemento $g$ tal que $h_2 g = g h_1$, o, equivalentemente, tal que $h_2 = g h_1 g^{-1}$. Esto es esencialmente lo que ocurre en la construcción de la semidirect producto, una presentación de la que es

$$H \rtimes G = \langle G, H | \varphi(g) h = ghg^{-1} \rangle.$$

Aquí me refiero al cociente del producto libre de $G$ $H$ por el valor especificado relaciones. Puedo ser más formal aquí, pero puede no ser del todo útil para hacerlo; en particular, la resultante noción de homotopy cociente también puede ser descrito por una característica universal, pero ahora que implican un natural de equivalencia de categorías en lugar de un natural bijection de conjuntos.

De todos modos, me deja conectar a todos esta copia de seguridad a los espacios y también a la corona de los productos para describir un topológico ejemplo de este homotopy cociente idea en el trabajo. Tomar un camino conectado espacio de $X$ y considerar el espacio $X^n$ $n$- tuplas de elementos en $X$. El cociente $X^n/S_n$ es el espacio de configuración de $n$ desordenada y no necesariamente distintos elementos de $X$, pero los cocientes de los espacios por parte del grupo de acciones a menudo puede no ser bien atendidos, y en homotopy de la teoría de la tierra por el contrario, podemos tomar el homotopy cociente, explícitamente descritas por la construcción de Borel

$$(X^n \times ES_n)/S_n.$$

Este es un tipo de "homotopy espacio de configuración." El remate es ahora que el grupo fundamental de este espacio es la corona del producto $\pi_1(X) \wr S_n$. (Esto no es sólo un ejemplo al azar; estos espacios pueden ser utilizados, entre otras cosas, para definir el Steenrod operaciones.)