Es este campo redefinición gratis escalar la teoría del campo no local?

Question

La acción de la libre escalar la teoría de campo es la siguiente: $$ S=\int d^4 x \frac{\dot{\phi}^2}{2}-\frac{\phi(m^2-\nabla^2)\phi}{2}. $$

He estado pensando a redefinir el campo como $\phi'(x)=\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi(x)$, donde creo que puedo separar el operador $(m^2-\nabla^2)$ $\sqrt{m^2-\nabla^2}\sqrt{m^2-\nabla^2}$ e integrar uno de ellos por parte (por la infinita expansión de la raíz cuadrada de Helmholtz operador). El hamiltoniano se convierte en

$$ H=\int d^3x\frac{\pi'(m^2-\nabla^2)\pi'}{2}+\frac{\phi'^2}{2} $$

Uno puede comprobar que la ecuación de movimiento y soluciones coherentes a la original libre de la teoría de campo (como debe ser), las cosas que me preocupa son:

1. Es justo hacer la infinita expansión+integración por parte?
2. Puesto que hay una serie infinita en el campo de redefinición, es no local? De acuerdo a la función de onda en la mecánica cuántica y la localidad y por Qué son de orden superior Lagrangians llamado "no-local"?, parece ser no local. Sin embargo, ya que no hay tiempo de los derivados de la raíz cuadrada, los datos iniciales en cada espacio debe ser de dos, que corresponde a uno dof en cada punto. Si la infinita expansión es válido, se puede conocer la configuración del campo de $\phi'(x)$ si conocemos $\phi(x)$, no es claro para mí que si necesitamos todos los datos iniciales de la serie infinita de derivados.

El anterior ejemplo sencillo podría ser demasiado trivial, la pregunta que estoy investigando es si la siguiente acción estable o no, $$ H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi \frac{1}{(1+2\beta \nabla^2)}\pi\phi(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)\phi, $$ donde $\beta$ es una constante. Yo estaba pensando en usar el no-local de campo de redefinición $$ \pi':=\frac{1}{\sqrt{1+2\beta\nabla^2}}\pi, \phi':=\sqrt{1+2\beta\nabla^2}\phi $$ para volver a escribir el hamiltoniano como $$ H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi'^2 -\phi\frac{(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)} a{1+2\beta\nabla^2}\phi, $$ que se garantice que no habrá fantasmas. Estoy de acuerdo en que el Hamiltoniano voy a empezar con algo inusual, pero se trata de un reducido Hamiltonianos de un restringido mayor de derivados de la teoría.

No es obvio cómo analizar esta por costumbre canónica de transformación, hay una buena manera de analizar este o podría alguien decirme qué va a ir mal con este tipo de campo redefinición?

Answer 1

1) La Formulación De Lagrange. El Lagrangiano de la densidad de un masivo gratis escalar en la $(+,-,-,-)$ convenio es

$$\tag{1} {\cal L}~=~\frac{1}{2}d_{\mu}\phi ~d^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2. $$

La correspondiente Euler-Lagrange ecuación es la enorme Klein-Gordon ecuación $$\tag{2} (d_{\mu}d^{\mu}+m^2)\phi~=~0. $$

El impulso es $$\pi ~:=~ \frac{\partial \cal L}{\partial\dot{\phi}}~=~\dot{\phi}.$$

2) La Formulación Hamiltoniana. La densidad Hamiltoniana es

$$\tag{3} {\cal H}~=~\frac{1}{2}\pi^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2. $$

El Hamiltoniano las ecuaciones de movimiento son

$$\tag{4} \dot{\pi}~=~({\bf \nabla}^2-m^2)\phi, \qquad \dot{\phi}~=~\pi. $$

Tenga en cuenta que tanto $\phi$ $\pi$ satisfacer la enorme Klein-Gordon en la ecuación (2).

3) transformación Canónica.

$$\tag{5} \widetilde{\phi}~:=~ \pi, \qquad \widetilde{\pi}~:=~ -\phi. $$

El nuevo Hamiltoniano densidad es, precisamente, OP densidad Hamiltoniana

$$\tag{6} {\cal H}~=~\frac{1}{2}\widetilde{\phi}^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\widetilde{\pi})^2+\frac{1}{2}m^2\widetilde{\pi}^2. $$

Tenga en cuenta que tanto $\widetilde{\phi}$ $\widetilde{\pi}$ satisfacer la enorme Klein-Gordon en la ecuación (2). Así que el nuevo Hamiltoniano densidad (6) puede ser reproducido sin ningún no-local de campo de redefinición.

4) Ahora vamos a volver a OP preguntas (v3): Sí,

$$\etiqueta{7} \widetilde{\phi}~:=~\sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}\phi, \qquad \sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}~:=~m\sum_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix}1/2 \\ n \end{pmatrix} \left(-\frac{{\bf \nabla}^2}{m^2} \right)^n $$

es un espacio no-locales (pero temporalmente local) campo de redefinición.

Desde el campo de redefinición (7) contiene ningún momento de derivados, Cauchy datos todavía cantidades para especificar $\widetilde{\phi}$ y su tiempo-derivado en una superficie de Cauchy. No hay necesidad de un mayor tiempo de derivados.

Y Sí, el campo de redefinición (7) formalmente conduce a la densidad Hamiltoniana (6). Sin embargo, como se ha mencionado en la sección 3, que ya es un local canónica de la transformación (5) podría lograr la misma formulación. OP no-local de campo de redefinición (7) corresponde a un no-local de la transformación canónica

$$\tag{8} \widetilde{\phi}~:=~(m^2-{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\qquad \widetilde{\pi}~:=~(m^2-{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.$$

5) OP pregunta en un comentario, si este tipo de no-local de campo de redefinición (7) está permitido en la teoría cuántica de campos en general? Dependerá de quién es el árbitro. Un matemático probablemente se centran en si la detallada derivación/prueba tiene sentido, mientras que un físico probablemente sería el contenido si el resultado final/meta tiene sentido.

6) OP considera que en una actualización (v5) la manifiestamente positivo (pero no renormalizable) densidad Hamiltoniana

$$ {\cal H}_{\beta} ~=~\frac{1}{2}\left((1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi\right)^2 +\frac{1}{2}\left((1+\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}{\bf \nabla}\phi\right)^2 $$ $$\etiqueta{9} ~=~\frac{1}{2}\widetilde{\pi}^2 +\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1+\beta{\bf \nabla}^2}{1+2\beta{\bf \nabla}^2}}{\bf \nabla}\widetilde{\phi}\right)^2~\geq~0, $$ con los no-local de la transformación canónica

$$\tag{10} \widetilde{\phi}~:=~(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\qquad \widetilde{\pi}~:=~(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.$$