Calcular $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2 + k}{n^3 + k}$

Question

Calcular $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2 + k}{n^3 + k}$$

He intentado: $$ 1 \xleftarrow{n \to \infty} n \cdot \frac{n^2+1}{n^3 + n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2 + k}{n^3 + k} \le n \cdot \frac{n^2 + n}{n^3 +1} \xrightarrow{n \to \infty} 1$$

Por lo tanto:$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2 + k}{n^3 + k} = 1$$

Yo no tengo respuesta para esa tarea y wolfram alpha no me ayudan. Voy muy agradecidos si usted podría comprobarlo.

Answer 1

Su respuesta es correcta. Esa es una buena aplicación del teorema del sandwich (además de algunos artística ecuación escribir en la segunda línea).

Answer 2

Su respuesta es muy agradable. Aquí es un método alternativo de apoyo: $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1+k/n^2}{1+k/n^3}\frac1n $$ Para $0\le k\le n$, $$ 1\le\frac{1+k/n^2}{1+k/n^3}\le1+\frac1n $$ Por lo tanto, el lado derecho se entre $1$ $1+\frac1n$ veces una Suma de Riemann $\left(x=\frac kn,\,\mathrm{d}x=\frac1n\right)$ $$ \int_0^11\,\mathrm{d}x=1 $$ Como $n\to\infty$, el lado derecho es arbitrariamente cerca de $1$.