Integral de la $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x\log \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=\frac{\ln 2 -1}{4}$

Question

Hola estoy tratando de demostrar que$$ I:=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x\log \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=\frac{\ln 2 -1}{4}. $$ Gracias.

Soy posiblemente tratando de simplificar este para obtener algo como $2\int_0^{\pi/2} \log \sin x\, dx=-\pi \ln 2 $ ya que este es fácilmente integrable. Sin embargo cuando trato de simplificar los términos $$ \frac{\sin^3 x}{\sqrt {1+\sin^2 x}} $$ Puedo obtener una más complicado integrando. No estoy seguro de cómo ir sobre esto. Yo estaba tratando posiblemente escribir $$ I(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x\log \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx,\quad I'(a)=\int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial}\left(\frac{\sin^3 ax\log \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}\right)\, dx, $$ pero esto no simplifica nada para mí.

También probé el de sustitución de $y=\sin^2 x$, pero no pude obtener una integral debido a la $\sin 2x$ a partir de la derivada.

Answer 1

El cambio de las variables de $t=\sin x$ rendimientos $$ I=\int_0^1\frac{t^3\ln t}{\sqrt{1+t^2}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} =\int_0^1\frac{t^3\ln t}{\sqrt{1-t^4}} dt $$ A continuación, ajuste de $t^4=u$ se simplifica a $$\eqalign{ I&=\frac{1}{16}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-u}}\ln u\, du\cr &=\left[\frac{1}{8}(1-\sqrt{1-u})\ln u\right]_0^1-\frac{1}{8}\int_0^1\frac{1-\sqrt{1-u}}{u} du\cr y=-\frac{1}{8}\int_0^1\frac{1}{1+\sqrt{1-u}} du;\qquad v\leftarrow1+\sqrt{1-u}\cr &=\frac{1}{4}\int_1^2\frac{1-v}{v} du=\frac{\ln 2-1}{4}.} $$ y hemos terminado. $\qquad\square$

Answer 2

La integral gritos para la sustitución de $u = \sin x$, lo que la transforma en $$ \int_0^1\frac{u^3\log u}{\sqrt{1-u^4}} \ \mathrm{d}u, $$ otro, más difícil sustitución, $w^2 = 1-u^4$ da $$ \frac{1}{2} \int_0^1 \log (1-w^2)^{1/4} \ \mathrm{d}w = {1\over 8} \int_0^1 \log(1+w) +\log (1-w) \ \mathrm{d}w = \frac{\ln 2 -1}{4}. $$

Answer 3

Podemos obtener una más general resultado:

Considere la integral

\begin{align} I(a)&=\int_0^{\pi/2}\, \frac{\sin(x)^a}{\sqrt{1+\sin(x)^2}}\, dx\\ &=\int_0^{1}\, \frac{t^a}{\sqrt{1-t^4}}\, dt \tag{subst. %#%#%}\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{1}\, u^{(a-3)/4} (1-u)^{-1/2}\, du \tag{subst. %#%#%}\\ &=\frac{1}{4}\mathrm B\left(\frac{a+1}{4},\frac{1}{2}\right) \tag{1} \end{align}

La tercera línea representa una forma de la función Beta.

\begin{align} \therefore I'(a)&=\int_0^{\pi/2}\, \frac{\sin(x)^a\, \log{\sin{x}}}{\sqrt{1+\sin(x)^2}}\, dx\\ &=\frac{1}{16} \, {\left(\psi_0\left(\frac{a+1}{4} \right)-\psi_0\left(\frac{a+3}{4} \right) \right)} {\rm B}\left(\frac{a+1}{4},\frac{1}{2}\right) \tag{%#%#%}\\ \implies I'(3)&=\frac{\log{2}-1}{4} \end{align}

Referencias: función Beta y Polygamma función