Sobre la pregunta me la explícita fórmulas de enlace (he actualizado el $(2)-(4)$ parte de aclaración) debería ayudar a encontrar el origen de la $\operatorname{li}(x^{\rho})$ para la de Riemann explícita fórmula a partir de Euler fórmula de producto ($\zeta$ como función de los números primos) hasta la fórmula explícita para $\pi(x)$ (la de los números primos como función de la $\zeta$ ceros).
Una exposición detallada de von Mangoldt la prueba de esta fórmula está en las páginas de $62$ $65$ de Edwards difícil reemplazar el libro 'Riemann Zeta Función'.
(Notación: en ANT es habitual nota '$\sigma$' la parte real del número complejo a $\,s:=\sigma+it\,$)
Sobre la pregunta II voy a reproducir textualmente Ingham la demostración ( página $37$) que
$\qquad\qquad$PNT $\implies$ {no hay ceros en la línea de $\sigma=1$}
Vamos a empezar con la ecuación de $(2.1)$ a partir de la explícita fórmulas enlace :
$$\tag{1}f(s):=-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=s\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{s+1}}dx\quad (s>1)$$
"tenemos, por $\,\sigma>1$,
$$\tag{2}\phi(s):=\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)-x}{x^{s+1}}dx=-\frac{\zeta'(s)}{s\;\zeta(s)}-\frac 1{s-1}$$
decir; $\phi(s)$ es regular en $\sigma>0$ a excepción de (posiblemente) por simple polos en los ceros de $\zeta(s)$. Ahora supongamos que el PNT verdadero, es decir,$\psi(x)=x+o(x)$. Entonces, dado $\epsilon>0$,$\,|\psi(x)-x|<\epsilon x\;$$\;x>x_0=x_0(\epsilon)\;(>1)$. Por lo tanto, para $\sigma>1$,
$$|\phi(s)|<\int_1^{x_0}\frac{|\psi(x)-x|}{x^2}dx+\int_{x_0}^\infty\frac{\epsilon}{x^\sigma}dx<K+\frac{\epsilon}{\sigma-1},$$
donde $K=K(x_0)=K(\epsilon)$. Así
$$|(\sigma-1)\phi(\sigma+ti)|<K(\sigma-1)+\epsilon<2\epsilon$$
para $\,1<\sigma<\sigma_0=\sigma_0(\epsilon,K)=\sigma_0(\epsilon)$. Por lo tanto, para cualquier fija $t$,
$$\tag{3}(\sigma-1)\,\phi(\sigma+ti)\to 0$$
como $\sigma\to 1+0$. Esto muestra que el punto de $1+ti\,$ no puede ser cero de $\zeta(s)$, pues en ese caso $(\sigma-1)\phi(\sigma+ti)$ tienden a un límite diferente de $0$, es decir, el residuo de $\phi(s)$ en el simple polo $1+ti$."
A la inversa implicación : $\qquad${no hay ceros en la línea $\sigma=1$} $\implies$ PNT
no es tan directo desde las habituales pruebas requieren {no hay ceros en la línea de $\sigma=1$}, pero también un teorema en el orden de magnitud de $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ implicar el PNT (c.f. la discusión de la página de $37-39$ de Ingham).
Esta filial es el teorema de algo como Hardy Y Littlewood $f(\sigma+it)=O(|t|^\alpha)$ $\alpha<1$ $\sigma\ge 1$ y de un gran $|t|$.
De hecho,$\zeta(s)=O(\ln|t|)$$\zeta'(s)=O\bigl(\ln^2|t|\bigr)$) se obtuvieron así como a $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=O\bigl(\ln^9|t|\bigr)$ $\rho>1-A\,\ln^{-9}|t|$ permite encontrar una gran 'cero región libre' a lo largo de $\sigma=1$. Creo que este requisito adicional que vino desde el infinito los límites de :
$$\tag{4}\psi^*(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}f(s)\frac{x^s}s\,ds$$
Este primer punto de vista (de la Vallée-Poussin y Hadamard) está bien expuesta en Titchmarsh libro de referencia "La teoría de la Riemann Zeta función' (alrededor de la página $50$).
$$-$$
Un avance importante se dio con la Wiener, combinando su trabajo acerca de las transformadas de Fourier y Lambert serie con Ikehara del Teorema, obtuvo el Tauberian teoremas expone en dos libros : 1932 : 'Tauberian teoremas' ($100$ páginas de papel accesibles después de la inscripción gratuita en JStor) y 1933 : "La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones" (ch.$19$ 'Ikehara del Teorema').
El Wiener–Ikehara teorema de' teorema afirma (Chandrasekharan) :
Si $A(t)$ es un valor no negativo, no decreciente de la función de $t$, definido por $t\ge 0$ y si la integral
$$\int_0^\infty A(t)\,e^{-ts}\,dt$$
es convergente para $\sigma>1$ a la función $f(s)$ analítica para$\sigma\ge 1$, excepto para un simple poste de $s=1$ con residuo$1\,$, entonces :
$$\lim_{t\to\infty} \ e^{-t}\,A(t)=1$$
(para una prueba y muchas más informaciones sobre el PNT ver Montgomery y Vaughan, el libro de 'Multiplicativo NT' de la página de $259$ o Chandrasekharan 'Introducción a las HORMIGAS de' p'.$124$ o Wiener)
Después de la configuración de $x:=e^t$ en la ecuación de $(1)$ obtenemos (para $\sigma>1$) :
$$-\frac{\zeta'(s)}{s\;\zeta(s)}=\int_0^{\infty}\psi(e^t)\,e^{-ts}\,dt$$
Vamos a aplicar el INGENIO para la función de Chebyshev $\;A(x):=\psi\bigl(e^x\bigr)$, entonces :
- $\psi$ es no decreciente y $\psi\bigl(e^x\bigr)\ge 0$
- $\zeta(s)$ $\zeta'(s)$ son analíticas para$\sigma>0$, excepto en $s=1$ donde $\,\frac{\zeta'(s)}{s\;\zeta(s)}$ admite una simple polo
- $\zeta(s)$ no se desvanecen en el semiplano $\sigma\ge 1$ (esto es, donde la hipótesis de $\zeta(s)\not = 0$ $\sigma=1$ aparece desde los otros casos son bien conocidos)
Todo esto implica que los $\,\psi\bigl(e^t\bigr)\sim e^t\;$ o $\;\psi(x)\sim x\;$ $\;x\to \infty$ (es decir, el PNT). Por supuesto, toda la "maquinaria" en el INGENIO aquí ! ( o a la inversa ? ;-) )
y llegó el deseado implicación directa : $\qquad${no hay ceros en la línea $\sigma=1$} $\implies$ PNT
la adición de sólo la continuidad en la cerca de la mitad del plano -$\sigma\ge1$$\;\displaystyle \zeta(s)-\frac 1{s-1}$$\;\displaystyle\zeta'(s)+\frac 1{(s-1)^2}$.
$$-$$
En $1980$ Newman propone otra prueba de la PNT usando (en Korevaar palabras, un 'pobre hombre' versión de Wiener–Ikehara. Su prueba sólo requieren la analiticidad y no desapareciendo de a $(s-1)\zeta(s)$ en el cerrado semiplano $\{s:\Re(s)\ge1\}$) (es decir, hechos bien conocidos, excepto en el $\Re(s)=1$ línea).
Newman teorema puede ser reescrito con la integral de Laplace en sustitución de la de la serie de Dirichlet (Korevaar y Zagier) :
Deje $A(t)\;$ ser un delimitada $(0,\infty)$ y localmente integrable función y supongamos que la función de $$g(s):=\int_0^\infty A(t)\,e^{-ts}\,dt,\quad \Re(s)>0$$ extends holomorphically to $\,\Re(s)\ge 0$ then the limit as $s\to 0$ existe y
$$\int_0^\infty A(t)\,dt=g(0)$$
Newman propuesto diferentes pruebas de la PNT. La más directa es el uso de la fórmula de inversión de Dirichlet de la serie para $\Re(s)>1$ : $\,\displaystyle\frac 1{\zeta(s)}=\sum \frac{\mu(n)}{n^s}$. Puesto que $(s-1)\zeta(s)$ es analítica y cero gratis en $\Re(s)\ge 1$ el teorema (en su forma de Dirichlet) se aplica y obtener la convergencia a $\,\displaystyle\sum \frac{\mu(n)}{n}=0$ que, según Landau es equivalente a (para Hardy 'profundidad') el teorema de los números primos.
Para su prueba de Newman modificado un teorema de Ingham (utilizando el análisis de Fourier) y volvió a la integral de contorno con la idea de reemplazar $(4)$ por un número finito de $C_R$ contorno integral. La fórmula de Cauchy dio directamente (concluyendo con el límite de $R\to\infty\;$ que $\;\lim_{T\to\infty} \{\text{left part}\}=0$) :
$$g(0)-g_T(0)=\frac1{2\pi i}\int_{C_R}\bigl(g(s)-g_T(s)\bigr)\,x^s\left(\frac 1s+\frac s{R^2}\right)\,ds,\quad g_T(s):=\int_0^T A(t)\,e^{-ts}\,dt$$
(el completo y de muy corta prueba de Zagier deben ser examinados !)
Este trabajo se describe en algunos documentos :
Usted puede disfrutar de estas últimas referencias, así como la historia de todo esto expuesto por Bateman y Diamante en 'cien años de los Números Primos'.
