Demostrando que $a + b = b + a$ para todos $a,b \in\mathbb{R}$

Question

Al estar interesado en los propios fundamentos de las matemáticas, estoy tratando de construir una prueba rigurosa por mi cuenta de que $a + b = b + a$ para todos $\left[a, b\in\mathbb{R}\right]$ . Inspirado en interesantes propiedades del plano complejo y en algunas investigaciones, me di cuenta de que definir la multiplicación como una suma repetida no me llevaría a ninguna parte (al menos, no podría trabajar con ella). Así que, mis ideas:

• Definir la adición $a+b$ como una especie de "paseo" a la derecha $\left(b>0\right)$ o a la izquierda $\left(b<0\right)$ un espacio $b$ de $a$ . Añadir un número $b$ a un número $a$ (indicada por $a+b$ ) implica realizar la siguiente operación:

  1. Considere la línea real $\lambda$ y su origen en $0$ . Marque un punto $a$ , dibujar otra línea real $\omega$ por encima de $\lambda$ tal que $\omega \parallel \lambda$ y marcar un punto $b$ en $\omega$ . Ahora, dibuja una línea $\sigma$ tal que $\sigma \perp \omega$ y el único punto en común entre $\sigma$ y $\omega$ es $b$ . Considere el punto de que $\lambda$ y $\sigma$ tienen en común; este punto se denota muy bien como $a + b$ .

(Tenga en cuenta que todo mi trabajo se basa aquí. Cualquier problema, y mi prueba va a la basura)

• Esta definición se puede utilizar para ver las propiedades de la suma de dos números $a$ y $b$ para todos $a, b \in\mathbb{R}$ .

• El uso de las propiedades geométricas puede llevarnos a una demostración rigurosa (si no es así, me gustaría conocer los problemas de su uso).

Así que empecé:

• $a, b \in\mathbb{N}$ :

$a+b = \overbrace{\left(1+1+1+\cdots+1\right)}^a + \overbrace{\left(1+1+1+\cdots+1\right)}^b = \overbrace{1+1+1+1+\cdots+1}^{a+b} = \overbrace{\left(1+1+1+\cdots+1\right)}^b + \overbrace{\left(1+1+1+\cdots+1\right)}^a = b + a$

(Implícitamente, estoy usando el hecho de que $\left(1+1\right)+1 = 1+\left(1+1\right)$ que no sé cómo probarlo e interpretarlo como el corte de un segmento $c$ en dos partes -- $a$ y $b$ . Sin embargo, este resultado puede extenderse a $\mathbb{Z}$ en el sentido de que $-a$ $(a > 0)$ es un cambio; de derecha a izquierda).

• $a, b \in\mathbb{R}$ :

Aquí tenemos básicamente dos casos:

• $a$ y $b$ son positivos o negativos;
• $a$ y $b$ donde uno de ellos es negativo.

Ya que en mi definición $-b, b>0$ significa dibujar un punto $b$ a la izquierda de la línea real, no hay gran problema en interpretarla; restando puede ser interpretado ahora. Así que empieza:

$a + b = c$ . Sin embargo, $c$ se puede cortar en dos partes: $b$ y $a$ . Naturalmente, si $a>c$ entonces $b<0$ -- se pueden enumerar muchos casos. Así que, $c = b + a$ . Pero $c = a + b$ se deduce que $a + b = b + a$ . Mis preguntas:

¿Hay algún problema en usar mi definición de sumar dos números $a$ y $b$ que utiliza muchas propiedades geométricas? ¿Hay alguna forma de resolverlo desde la informalidad? ¿Hay algo correcto aquí?

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero hay que definir $\mathbb{R}$ ¡en su construcción!

Para definir $\mathbb{R}$ Una forma de hacerlo es definir $\mathbb{N}$ , entonces definiendo $\mathbb{Z}$ , entonces definiendo $\mathbb{Q}$ y finalmente definir $\mathbb{R}$ . Una vez que se han establecido estas cosas, demostrar la asociatividad y la conmutatividad de la adición sobre los reales se reduce esencialmente a demostrar la asociatividad y la conmutatividad de la adición sobre los números naturales.

Como ya se ha dicho, primero hay que definir los números naturales. Por ejemplo, $2$ como número natural se define como $2_{\mathbb{N}} = \{\emptyset,\{\emptyset\} \}$ . Utilizaremos la notación $e$ es $1_{\mathbb{N}}$ y $S(a)$ sea la función sucesora aplicada a $a \in \mathbb{N}$ . A continuación, definimos la adición en los números naturales mediante la función sucesora. La adición en números naturales se define inductivamente como $$a +_{\mathbb{N}} e = S(a)$$ $$a +_{\mathbb{N}} S(k) = S(a+k)$$ También puede definir $\times_{\mathbb{N}},<_{\mathbb{N}}$ en los números naturales de forma similar.

Entonces se definen los enteros como una clase de equivalencia (usando $+_{\mathbb{N}}$ ) de pares ordenados de naturales, es decir, por ejemplo $2_{\mathbb{Z}} = \{(n+_{\mathbb{N}}2_{\mathbb{N}},n):n \in \mathbb{N}\}$ . Del mismo modo, se puede ampliar la noción de suma y multiplicación de dos enteros, es decir, se puede definir $a+_{\mathbb{Z}} b$ , $a \times_{\mathbb{Z}}b$ , $a <_{\mathbb{Z}} b$ . La suma, la multiplicación y la ordenación de los números enteros se definen como operaciones apropiadas sobre estos conjuntos.

Luego se pasa a definir los racionales como una clase de equivalencia (usando $\times_{\mathbb{Z}}$ ) de pares ordenados de enteros. Así que $2$ como un número racional, $2_{\mathbb{Q}}$ es una clase de equivalencia de pares ordenados $$2_{\mathbb{Q}} = \{(a \times_{\mathbb{Z}} 2_{\mathbb{Z}},a):a \in \mathbb{Z}\backslash\{0\}\}$$ De nuevo, defina $+_{\mathbb{Q}}, \times_{\mathbb{Q}}$ , $a <_{\mathbb{Q}} b$ . La suma, la multiplicación y la ordenación de los racionales se definen como operaciones apropiadas sobre estos conjuntos.

Finalmente, un número real se define como el corte Dedekind izquierdo de los racionales, es decir, por ejemplo $2$ como número real se define como $$2_{\mathbb{R}} = \{q \in \mathbb{Q}: q <_{\mathbb{Q}} 2_{\mathbb{Q}}\}$$ La suma, la multiplicación y la ordenación de los reales se definen como operaciones apropiadas sobre estos conjuntos.

Una vez que se han establecido estas cosas, demostrar la asociatividad y la conmutatividad de la suma sobre los reales se reduce esencialmente a demostrar la asociatividad y la conmutatividad de la suma sobre los números naturales.

Aquí están las pruebas de asociatividad y conmutatividad en los números naturales utilizando el axioma de Peano.

Asociatividad de la adición : $(a+b) + c = a + (b + c )$

Prueba :

Dejemos que $\mathbb{S}$ sea el conjunto de todos los números $c$ , de tal manera que $(a+b) + c = a + (b + c )$ , $\forall a,b \in \mathbb{N}$ .

Demostraremos que $e$ está en el conjunto y siempre que $k \in \mathbb{S}$ tenemos $S(k) \in \mathbb{S}$ . Entonces, invocando el axioma de Peano (es decir, el principio de inducción matemática), obtenemos que $\mathbb{S} = \mathbb{N}$ y por lo tanto $(a+b) + c = a + (b + c )$ , $\forall a,b \in \mathbb{N}$ .

Primer paso:

Claramente, $e \in \mathbb{S}$ . Esto se debe a la definición de adición.

$(a+b)+e = S(a+b)$ y $a + S(b) = S(a+b)$

Por lo tanto, $(a+b)+e = a + S(b) = a+ (b+e)$

Segundo paso:

Supongamos que la afirmación es verdadera para algunos $k \in \mathbb{S}$ .

Por lo tanto, tenemos $(a+b)+k = a+(b+k)$ .

Ahora tenemos que probar, $(a+b) + S(k) = a+(b+S(k))$ .

Por definición de adición, tenemos $(a+b)+S(k) = S((a+b) + k)$

Por hipótesis de inducción, tenemos $(a+b)+k = a+ (b+k)$

Por definición de adición, tenemos $b + S(k) = S(b+k)$

Por definición de adición, tenemos $a+S(b+k) = S(a+(b+k))$

Por lo tanto, obtenemos,

$(a + b) + S(k) = S((a+b) + k) = S(a+ (b+k)) = a + S(b+k) = a+ (b + S(k))$

Por lo tanto, obtenemos,

$(a+b) + S(k) = a + (b+S(k))$

Último paso:

Por lo tanto, tenemos $e \in \mathbb{S}$ . Y cuando sea, $k \in \mathbb{S}$ tenemos $S(k) \in \mathbb{S}$ .

Por lo tanto, por principio de inducción matemática, tenemos que $\mathbb{S} = \mathbb{N}$ es decir, la asociatividad de la adición, a saber $$(a+b) + c = a + (b+c)$$

Conmutatividad de la suma: $m + n = n + m$ , $\forall m,n \in \mathbb{N}$ .

Prueba :

Dejemos que $\mathbb{S}$ sea el conjunto de todos los números $n$ , de tal manera que $m + n = n + m$ , $\forall m \in \mathbb{N}$ .

Demostraremos que $e$ está en el conjunto $\mathbb{S}$ y siempre que $k \in \mathbb{S}$ tenemos $S(k) \in \mathbb{S}$ . Entonces, invocando el axioma de Peano (es decir, el Principio de Inducción Matemática), afirmamos que $\mathbb{S}=\mathbb{N}$ y por lo tanto $m + n = n + m$ , $\forall m,n \in \mathbb{N}$ .

Primer paso:

Demostraremos que $m + e = e + m$ y por lo tanto $e \in \mathbb{S}$ .

La línea de pensamiento para la prueba es la siguiente:

Dejemos que $\mathbb{S}_1$ sea el conjunto de todos los números $m$ , de tal manera que $m + e = e + m$ .

Demostraremos que $e$ está en el conjunto $\mathbb{S}_1$ y siempre que $k \in \mathbb{S}_1$ tenemos $S(k) \in \mathbb{S}_1$ . Entonces, invocando el axioma de Peano (es decir, el Principio de Inducción Matemática), afirmamos que $\mathbb{S}_1=\mathbb{N}$ y por lo tanto $m + e = e + m$ , $\forall m \in \mathbb{N}$ .

Para probar: $e \in \mathbb{S}_1$

Claramente, $e + e = e + e$ (Estamos añadiendo los mismos elementos en ambos lados)

Supongamos que $k \in \mathbb{S}_1$ . Así que tenemos $k + e = e + k$ .

Ahora para probar $S(k)+ e = e + S(k)$ .

Por la definición de adición, tenemos $e + S(k) = S(e + k)$

Por nuestro paso de inducción, tenemos $e + k = k + e$ .

Así que tenemos $S(e+k) = S(k+e)$

De nuevo por definición de adición, tenemos $k + e = S(k)$ .

Por lo tanto, obtenemos $e + S(k) = S(S(k))$ .

De nuevo por definición de adición, $p + e = S(p)$ , lo que nos da $S(k) + e = S(S(k))$ .

Por lo tanto, obtenemos que $S(k+e) = S(k) + e$ .

Así que tenemos,

$e + S(k) = S(e+k) = S(k+e) = S(S(k)) = S(k) + e$ .

Por lo tanto, suponiendo que $k \in \mathbb{S}_1$ tenemos $S(k) \in \mathbb{S}_1$ .

Por lo tanto, por el Principio de Inducción Matemática, tenemos $m + e = e + m$ , $\forall m \in \mathbb{N}$ .

Segundo paso:

Supongamos que $k \in \mathbb{S}$ . Ahora tenemos que demostrar que $S(k) \in \mathbb{S}$ .

Desde $k \in \mathbb{S}$ tenemos $m + k = k + m$ .

Para probar: $m + S(k) = S(k) + m$ .

Prueba:

Por definición de adición, tenemos $m + S(k) = S(m+k)$ .

Por hipótesis de inducción, tenemos $m + k = k + m$ . Por lo tanto, obtenemos $S(m+k) = S(k+m)$ .

Por definición de adición, tenemos $k + S(m) = S(k+m)$ .

Por lo tanto, obtenemos $m + S(k) = S(m+k) = S(k+m) = k + S(m)$ .

Todavía no hemos terminado, ya que queremos probar, $m + S(k) = S(k) + m$ .

Así que nos queda probar $k + S(m) = S(k) + m$ .

$S(k) +m = (k+e) + m = k + (e+m) = k + (m+e) = k + S(m)$ .

Por lo tanto, obtenemos $m + S(k) = S(k) + m$ .

Último paso:

Por lo tanto, tenemos $e \in \mathbb{S}$ . Y siempre que $n \in \mathbb{S}$ tenemos $S(n) \in \mathbb{S}$ .

Por lo tanto, por el Principio de Inducción Matemática, tenemos la conmutatividad de la adición, es decir,

$m + n = n + m$ , $\forall m,n \in \mathbb{N}$ .

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Podríamos pensar que la asociatividad es más difícil/larga de demostrar que la conmutación, ya que la asociatividad es sobre tres elementos mientras que la conmutación es sobre dos elementos.

Por el contrario, si se observa la prueba, demostrar la asociatividad resulta más fácil que la conmutatividad.

Obsérvese que la definición de adición, a saber $m + S(n) = S(m+n)$ incorpora la asociatividad $m+(n+e) = (m+n)+e$ .

Sin embargo, para la conmutatividad, estamos cambiando los papeles de $m$ y $n$ (estamos cambiando el "orden") y no es de extrañar que sea "más difícil/largo" probarlo.

Answer 2

Por desgracia, su método no es riguroso. Hay demasiadas nociones indefinidas dando vueltas. Por ejemplo, nunca se define lo que $\mathbb{R}$ es en su construcción, o qué propiedades tiene. Para responder a tu pregunta, en la construcción habitual de los números reales, el hecho de que $a+b=b+a$ se toma como axiomático (junto con varios otros axiomas, llamados axiomas de campo).

Usted menciona que es un estudiante de pre-cálculo. En esta etapa de tu desarrollo matemático, deberías dar por sentado que puedes sumar números. Es intuitivamente obvio, y hay cosas mucho más interesantes que puedes hacer con tu tiempo que preocuparte por cuestiones fundamentales. Aprende algo de teoría numérica elemental. Aprende algo de combinatoria. Encuentra un libro de problemas elementales de matemáticas que suponga un reto y trabaja en él. Hay un tiempo para el rigor y la demostración, pero viene después de desarrollar intuiciones fundamentales sobre el tema. El objetivo de las formalizaciones de los números reales es hacer que nuestras intuiciones sean lo más precisas y libres de errores posible, por lo que anteponer la formalización a la intuición es, en mi opinión, la manera equivocada de hacer las cosas.

Si todavía le interesan los temas fundacionales, hay muchos libros disponibles que cubren los fundamentos de las matemáticas. Probablemente le interese un libro de introducción a la teoría de conjuntos. Para una exposición de la construcción de los reales y sus propiedades, recomiendo Fundamentos del análisis por Edmund Landau. Pero sin ninguna experiencia con las pruebas, estos libros son bastante difíciles de entender.

Answer 3

Primero hay que pensar cómo se define $\alpha$ un número real. Una de las construcciones clásicas es definirlo como un conjunto. Se trata de una construcción basada en los cortes de Dedkind, definidos como sigue:

DEFINICIÓN (Spivak)

A número real es un conjunto de números racionales $\mathrm {\mathbf A}$ tal que

$(1)$ Si $x \in \mathrm {\mathbf A}$ y $y < x$ entonces $y \in \mathrm {\mathbf A}$ .

$(2)$ Si $x \in \mathrm {\mathbf A}$ existe otro $y$ tal que $y \in \mathrm {\mathbf A}$ y $y >x$ - a saber $\mathrm {\mathbf A}$ no tiene ningún elemento máximo.

$(3)$ $\mathrm {\mathbf A}$ no está vacío, es decir $\mathrm {\mathbf A} \neq \emptyset$

$(4)$ $\mathrm {\mathbf A} \neq \mathbf Q$ .

El conjunto de todos los números reales se anota $\mathbf R$

Estos conjuntos también se denominan cortes Dedekind, en honor a Dedekind, que fue el primero en considerarlos. El ejemplo clásico de corte Dedekind es $\sqrt{ \mathbf {2}} = \{ x : x^2 < 2 \text{ or } x <0\}$ . Este conjunto define el número real $\sqrt 2$ .

Entonces definimos la suma $\large {\bf +}$ de dos números reales (diferentes de $+$ la suma de los racionales) como sigue

DEFINICIÓN (Spivak)

Si $\mathrm {\mathbf A}$ y $\mathrm {\mathbf B}$ son números reales, entonces

$$\mathrm {\mathbf A} {\large {\bf +}}\mathrm {\mathbf B}= \{x:x=y+z \text{ ; for some } y \in \mathrm {\mathbf A} \text{ and some } z \in \mathrm {\mathbf B} \}$$

Nótese que con esta definición, las pruebas que

$${\bf{A}} {\large {\bf +}} {\bf{B}} = {\bf{B}} {\large {\bf +}} {\bf{A}}$$

y

$$({\bf{A}} {\large {\bf +}} {\bf{B}}){\large {\bf +}}{\bf{C}} = {\bf{B}} {\large {\bf +}} ({\bf{A}}{\large {\bf +}}{\bf{C}})$$

se deduce directamente del hecho de que para cualquier $x,y,z$ números racionales

$$\eqalign{ & x + y = y + x \cr & x + \left( {y + z} \right) = \left( {x + y} \right) + z \cr}$$

Podemos definir entonces $\mathbf <$ para dos números reales, como:

DEFINICIÓN (Spivak)

Si ${\bf{A}}$ y ${\bf{B}}$ son números reales, entonces ${\bf{A}}\mathbf{<} {\bf{B}}$ significa que ${\bf{A}}$ está contenida en ${\bf{B}}$ pero ${\bf{A}} \neq {\bf{B}}$ .

Tenga en cuenta que $\mathbf >$ $\mathbf \leq$ y $\mathbf \geq$ pueden definirse de forma análoga.

Entonces se puede demostrar lo siguiente:

TEOREMA (Spivak)

Si $A$ es un conjunto de números reales, $A \neq \emptyset$ y $A$ está acotado avobe, entonces $A$ tiene un límite superior mínimo, o supremum.

Obsérvese entonces que si consideramos el conjunto $\mathbf R$ junto con $+$ , $\leq$ , $\cdot$ entonces

$(\mathbf 1)$ Entonces $(\mathbf R,+,\cdot)$ es un campo lo que significa que las propiedades habituales de la suma y la multiplicación se mantienen (junto con las relaciones entre ellas), junto con la existencia de una identidad para la multiplicación ( $1$ ), e identidad para la suma ( $0$ ), y la existencia de inversos para ambas operaciones (excluyendo $0$ en la multiplicación).

$(\mathbf 2)$ El campo está ordenado, en el sentido de que la relación $\leq$ es un pedido total .

$(\mathbf 3)$ Es completa, en el sentido de que todo conjunto de números reales que no sea el conjunto vacío y tenga un límite superior, tiene un límite mínimo superior.

Answer 4

Por favor, no dejes que los comentarios te desanimen: es bueno que intentes comprender los fundamentos de las Matemáticas, y hay que aplaudir tu esfuerzo.

Para demostrar un teorema, hay que disponer de un conjunto de axiomas y definiciones (así como de reglas lógicas aceptables) a partir de los cuales se pueda deducir el teorema. Es muy útil ver algunos ejemplos concretos de cómo se consigue esto antes de lanzarse a la aventura. Además (juego de palabras), es útil tener un libro (o mejor aún, un profesor) que pueda guiar tus demostraciones.

La respuesta a tu pregunta es que a tu prueba le faltan algunas partes clave, sobre todo el marco axiomático. Tu prueba parece reducirse a una prueba por intuición, en la que defines la adición de forma geométrica y confías en la intuición geométrica de que, independientemente de la forma en que realices tu construcción, la longitud total será la misma. Esto no es suficiente, y para entender por qué hay que ver lo que es suficiente.

Yo recomendaría empezar con un libro de teoría de conjuntos, que suele ser el primer lugar en el que se encuentran pruebas de esta naturaleza. Este libro gratuito en línea parece accesible para alguien con tu formación: http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf

Answer 5

Algo así hizo Hilbert hace algo más de un siglo, en su Fundamentos de Geometría. Los axiomas del sustrato geométrico fueron expuestos en gran detalle . Entonces se definió una aritmética sobre los puntos de una línea particular $\ell$ con la adición definida de una manera que recuerda a lo que hiciste, y luego la multiplicación y la división. Para la suma se elige un punto arbitrario $O$ en $\ell$ para servir como $0$ . Para la multiplicación se necesita otro punto arbitrario $P\ne O$ para servir como $1$ .

Hilbert demostró entonces que los puntos de la línea, bajo estas operaciones geométricas, forman lo que ahora llamamos un campo ordenado completo. Esto tiene cierto interés, ya que muestra que la geometría plana clásica, realizada correctamente (es decir, añadiendo los axiomas que faltan a Euclides), produce una estructura isomorfa al conocido plano de coordenadas $\mathbb{R}^2$ .

Sin embargo, en mi opinión, este trabajo de Hilbert tuvo poca importancia a largo plazo. Aunque muestra que los números reales pueden desarrollarse dentro de un marco geométrico clásico, el enfoque estándar sigue siendo el aritmético promovido por Weierstrass, Dedekind y Cantor. Los números naturales se toman como fundamentales o (más tarde) se definen en teoría de conjuntos. A continuación, se utilizan las herramientas de la teoría de conjuntos para construir sucesivamente los enteros, los racionales y los reales.