El nombre de esta identidad? $\int e^{\alpha x}\cos(\beta x) \space dx = \frac{e^{\alpha x} (\alpha \cos(\beta x)+\beta \sin(\beta x))}{\alpha^2+\beta^2}$

Question

De nuevo:

$$\int e^{\alpha x}\cos(\beta x) \space dx = \frac{e^{\alpha x} (\alpha \cos(\beta x)+\beta \sin(\beta x))}{\alpha^2+\beta^2}$$

También la de $\sin$:

$$\int e^{\alpha x}\sin(\beta x) \space dx = \frac{e^{\alpha x} (\alpha \sin(\beta x)-\beta \cos(\beta x))}{\alpha^2+\beta^2}$$

Ambos ayudan a evitar la integración por partes. Creo que estos dos pruebas muy útil y me gustaría saber cuáles son sus nombres.

Answer 1

Son las partes real e imaginaria de la siguiente identidad: $$ \int{e^{(\alpha+\beta)x}dx} = \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} = \frac{(\alpha - i\beta)e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha^2 + \beta^2}. $$

Answer 2

He contestado a esto en otra pregunta, pero creo que se podría aplicar mejor aquí:

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En general, si quieres encontrar a $$ \int e^{ax}\cdot \sin{bx}\cdot dx$$ se puede argumentar de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que para cualquier $\alpha$ o $\beta$, usted tiene

$$\eqalign{ & \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\sin \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + \beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x \cr & \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - \beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x \cr} $$

para que cualquier integrante de la forma

$$ \int e^{\alpha x}\cdot \sin{\beta x}\cdot dx$$

es una combinación lineal de la función anterior. Vamos, entonces, a encontrar $c_1$ $c_2$ tal que

$$\frac{d}{{dx}}\left( {{c_1}{e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_2}{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$

$${c_1}\alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_1}\beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x + {c_2}\alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - {c_2}\beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$

Esto significa que necesitamos

$$\eqalign{ & {c_1}\alpha - {c_2}\beta = 1 \cr & {c_1}\beta + {c_2}\alpha = 0 \cr} $$

Este será el rendimiento con poco trabajo

$$\eqalign{ & {c_1} = \frac{\alpha }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr & {c_2} = - \frac{\beta }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr} $$

lo que significa que, en general:

$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\sin \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$

De forma análoga, se consigue

$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\cos \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \cos \beta x + \beta \sin \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$

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Esto no tiene nombre oficial, es sólo una fórmula para encontrar una primitiva.

Answer 3

SUGERENCIA

Por lo general, si denotamos $A=\int e^{a x} \cdot \cos (b x) \ dx$ $B=\int e^{a x} \cdot \sin (b x) \ dx$ e integrar por partes a y B, entonces podemos obtener un fácil-a-resolver el sistema en $A$$B$. Pero este es sólo otro enfoque posible. Sin embargo, mjqxxxx el enfoque es, por lejos, mejor.

Chris.