Dado: $x,y\in (-\sqrt2;\sqrt2)$ $x^4+y^4+4=\dfrac{6}{xy}$
Encontrar el Mínimo valor De $$P=\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{3-2xy}{5-x^2-y^2}$$
Podría alguien ayudarme ?
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Definir la función: $$ P(x,y) = \frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{3-2xy}{5-x^2-y^2} $$ Ninguna pista sin una visión de conjunto. Hacemos uso de la fuerza bruta de gráficos :
La mente, el círculo y las líneas rectas, que son las singularidades de la función $P(x,y)$ . También tenga en cuenta que todo problema tiene una simetría con respecto a la línea de $\;y=x$ . Nuestro visor es:
xmin := -4; xmax := +4; ymin := -4; ymax := +4;Primero investigar donde $P$ es positivo ($\color{red}{red}$) y de donde es negativo ($\color{green}{green}$) . Buscamos a un mínimo, por lo que la atención será preferiblemente ser restringido a los dominios donde$P(x,y)$$\color{green}{negative}$. Luego de definir la curva (en amarillo en la imagen). El mínimo de $P(x,y)$ debe en esta curva de $C$ : $$ x^4+y^4+4=\dfrac{6}{xy} \qquad \mbox{o} \qquad C(x,y) = xy \, (x^4+y^4+4)-6=0 $$ Los ejes de coordenadas están en negro, el área de $\;x,y\in (-\sqrt2;\sqrt2)\;$ para ser investigado es el de la plaza delimitada por la $\color{blue}{blue}$ líneas. Ahora es claro que el dominio para ser investigado en el final es la delimitada por los bordes blancos: $\;x,y\in (-\sqrt2;-1/2)$ . El blanco bordeado parte de la imagen es ampliada aquí:
Algunas curvas de nivel de la función $P(x,y)$ son dibujados en negro; la curva
$C(x,y) = 0$ se dibuja en $\color{green}{green}$. La línea de simetría $y=x$
es de color amarillo; los extremos de la función $P(x,y)$ están marcados con
$\color{red}{red}$ puntos de colores. Un lugar especial es el máximo de $P$ a
la curva de $\,C=0$ , el punto de intersección de la verde y el amarillo de la línea :
$$
C(-1,-1) = 0 \qquad \mbox{y} \qquad P(-1,-1) = -\frac{5}{3}
$$
La curva de $\;C(x,y)=0\;$ cruza las líneas de $\;x=-\sqrt{2}\;$
y $\;y-\sqrt{2}\;$ justo debajo de $\;y=-1/2\;$ y a la izquierda de $\;x=-1/2\;$ , debido a que
estos puntos están en la zona negativa de la función de $\;C(x,y)$ :
$$
C(-\sqrt{2},-1/2) = C(-1/2,-\sqrt{2}) = \frac{129}{16}-6\sqrt{2} = -.422781372 < 0
$$
Un máximo local ( $\color{red}{red \; dot}$ ) ha sido detectado (pero solo)
numéricamente:
$$
P(-1.194436916,-1.194436916) = -1.371703810
$$
Por último, pero no menos importante: el valor mínimo que se le pide. Debido a que el intervalo de
$(-\sqrt2;\sqrt2)$ está definido por la OP como un abrir intervalo (?) , que es un
complicado. Si el intervalo se cerraron, entonces yo diría que los dos son mínimos
en las soluciones de $\;C(-\sqrt{2},y)=0\;$ o $\;C(x,-\sqrt{2})=0\;$ :
$$
y^5 + 8y + 3 \sqrt{2} = 0 \qquad \mbox{o} \qquad x^5 + 8x + 3 \sqrt{2} = 0
$$
Un quintic que pueden ser resueltos (¿único?) numéricamente : $\;y = -.5253289716 < -1/2$
o $\;x = -.5253289716 < -1/2$ . El mínimo sí es (numérica) :
$$
P(-\sqrt{2},-.5253289716) = P(-.5253289716,-\sqrt{2}) = -19.73131147
$$
Pero no sé cómo manejar correctamente el intervalo abierto, si se entiende como tal.
$P(x,y)\;$ a lo largo de la curva de $\;C(x,y) = 0\;$ dentro $\;x,y \in (-\sqrt2;-1/2)\;$ es una función de $\;y = f(s)\;$ donde $\;s\;$ es la longitud de arco. Podemos trazar la gráfica de $\;y=f(s)$ . Debido a la simetría, no importa en qué dirección nos caminar a lo largo de la curva. Se ve que el máximo es de hecho en $\;y=-5/3\;$ y que la función es uniformemente decreciente desde allí en ambos (simétrica) las direcciones.
Mussé Redi
Puntos
379
Usted podría tratar de este enfoque, aunque creo que hay una manera más sencilla.
En primer lugar, aplicar el cambio de variables
$$ v=x^4+y^4, \ w = \frac{1}{xy} $$
con el fin de simplificar el dominio $D$ a
$$ D = \{\ v(w) = 6w-4\ : w \(- \infty,-1/2) \cup (1/ 2,\infty)\ \}. $$
El valor mínimo es de ahora, dada por la invocación de la regla de la cadena
\begin{align} 0 =& \frac{dP}{dw}\\ =& \frac{dP}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \\ =& \Big(\frac{\partial P}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dv} + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dv}\Big) \cdot \frac{dv}{dw} \\ =& \Big( \frac{\partial P}{\partial x} \cdot \frac{dv}{dx}^{-1} + \frac{\partial P}{\partial y} \cdot \frac{dv}{dy}^{-1}\Big) \cdot \frac{dv}{dw}, \end{align} teniendo en cuenta que la solución se encuentra en el dominio $D$.
