¿Cómo funciona este paso en la prueba de la estructura teorema de f.g. los módulos a través de un dominio de Dedekind de trabajo?

Question

Estoy tratando de mostrar que cada finitely generado proyectiva módulo de $P$ sobre un dominio de Dedekind $D$ es una suma directa de (fraccional) ideales. Puede que notes que en los dominios de Dedekind reclamar el resultado puede ser probado por la inducción de la siguiente manera: si $P$ rango $n$, vamos a $Q$ ser un rango de $n-1$ submódulo de $P$ (construidos por ejemplo, tomando los elementos que abarca un subespacio de dimensión$n-1$$P \otimes \text{Frac}(D)$), y considerar la secuencia exacta corta

$$0 \to Q \to P \to P/Q \to 0.$$

Por tensoring con $\text{Frac}(D)$ vemos que $P/Q$ rango $1$, y aquí Puede que notes que afirman que esto implica que $P/Q$ es proyectiva, que es la parte crucial de el paso inductivo.

No veo cómo esto funciona. Parece que usted necesita para mostrar que usted puede elegir $Q$, de modo que usted puede garantizar que $P/Q$ es de torsiones. De lo contrario, considerar, por ejemplo, la inclusión

$$\mathbb{Z} \ni 1 \mapsto (0, 2) \in \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}.$$

Aquí el cociente es el rango $1$ pero se ha de torsión.

Así que es un auténtico agujero en la prueba y, si es así, ¿cómo puede ser reparado?

Answer 1

Como se indica en los comentarios, debe saturar $Q$ $P$ , es decir, se sustituya por la preimagen de la torsión en $P/Q,$, de modo que (después de un cambio de $Q$ de esta manera), llegamos a que $P/Q$ es de torsiones.

El hecho básico que necesita es que la saturación es de nuevo f.g., pero esto se sigue del hecho de que la torsión en $Q/P$ es f.g., siendo un submódulo de la f.g. módulo de $P/Q$.

El proceso de saturación es común en este tipo de situaciones, donde nos estamos jugando la relación entre los módulos a través de $D$ y su campo de fracción, y queremos evitar la torsión que aparecen en la integral de nivel. Una manera de proceder, que es un poco más limpio que su construcción de $Q$, es elegir a $V$ de dim n $n-1$$P\otimes Frac(D)$, y establecer $Q = P \cap V$. A continuación, $Q$ es f.g. (por ser un submódulo de $P$) y es de rango $n-1$ (que se extiende a $V$), y es automáticamente saturada en $P$ (debido a $P/Q$ incrusta en $P\otimes D/V,$ $Frac(D)$ espacio vectorial, y por lo tanto de torsión libre). (La diferencia de b/w de la construcción y la mía es que se llevó a $Q$ a ser el intervalo de tiempo de algunos específicos de vectores, por lo tanto libre, mientras que yo no tratamos de precisar la estructura de $Q$ precisamente de este modo; dejo de ser lo que había que estar saturado.)

Esta última forma de proceder es especialmente útil en afirmar contextos (como si hubiera una filtración en $P\otimes Frac(D)$, y desea obtener un subyacente de filtración en $P$ algunos $Q$'s que están saturados, y que induce a la original de filtración después de la ampliación de escalares de vuelta a $Frac(D)$: sólo se cruzan los espacios vectoriales en la filtración con $P$!).

Answer 2

Un par de observaciones:

1) no es necesario decir "fraccional" en su primera frase. Por definición, un ideal fraccional es una $R$-submódulo de $K$ de la forma $\frac{1}{a} I$ integral ideal $I$$a \in R^{\bullet}$. Como un $R$-módulo, esto es visiblemente isomorfo a la integral ideal $I$.

2) Sí, creo que tienes razón en que esto es un auténtico agujero en la prueba. Ciertamente puede ser fija, como en mat E de la respuesta. Pero el argumento, tal y como está se ve incompleta, y puede ser vale la pena ponerse en contacto con el Profesor Pueda acerca de.

3) no te ves en mi álgebra conmutativa notas? Yo ciertamente no significa exagerar ellos -- ellos son algo idiosincrásicos en lo que cubren y que el autor no es uno de los grandes expertos en el tema, pero una gran cantidad de esfuerzo se ha invertido en ellas, y que cubren algunas cosas: una de ellas es la de los dominios de Dedekind. En particular ver $\S 20.5$ para el tratamiento de los resultados que usted está preguntando acerca de. Sinceramente, creo que es mejor que la de Mayo del enfoque. En realidad es esencialmente lo que Matt E dice en su respuesta: si las cosas de la manera correcta, usted no tendrá que preocuparse de saturaciones.