Los Números Pentagonales

Question

Recientemente me estaba pasando algún tiempo en el Proyecto Euler, cuando me topé con esta pregunta. Se trata de encontrar Números Pentagonales $P_j$ $P_k$ tal que $P_j+P_k$ $P_j-P_k$ son también números pentagonales y $P_j-P_k$ es mínimo. Sin pérdida de generalidad, soy simplemente vas a decir $j>k$ por el bien de resolver el problema.

Si usted no está familiarizado con el Proyecto de Euler, la idea de este sitio es brindar los problemas matemáticos que pueden ser resueltos con simples programas. Proporciona muy buenos ejercicios en ciencias de la computación y algoritmos.

Me di cuenta de que algunos problemas en el sitio puede ser fácilmente resuelto con lápiz y papel (no de "fuerza bruta" cálculos necesarios). Me siento como si este problema (aunque tal vez no tan fácilmente como algunos) puede ser resuelto por la mano, aunque me sigue golpeando a callejones sin salida.

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He empezado con lo que yo sé: Hay múltiples (tal vez incluso infinitamente muchas soluciones $j,k,n_1,n_2$ a los siguientes:

\begin{align} P_j + P_k &= P_{n_1}\\ P_j - P_k &= P_{n_2} \end{align}

Quiero relacionar estas variables en una forma en la que puedo encontrar una clase de soluciones para este problema. Luego, a partir de ahí debe ser fácil de encontrar la solución que $P_j-P_k$ es mínimo.

El uso de las relaciones descritas anteriormente y usando la fórmula de un número pentagonal, llego a la siguiente:

\begin{align} 3j^2 - j + 3k^2 - k &= 3n_1^2 - n_1\\ 3j^2 - j - 3k^2 + k &= 3n_2^2 - n_2 \end{align}

A partir de aquí, yo soy incapaz de progresar en cualquier forma beneficiosa. Parece que llegué a un callejón sin salida, no importa dónde me iré de aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!

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EDIT: estoy en busca de una solución. Yo simplemente no tienen la adecuada formación en teoría de números para elaborar sobre lo que estos consejos pueden ser de decirme que hacer. Sin embargo, estoy muy intrigado por cómo podría solucionar esto.

Por favor, proporcione o que me ayudara a salir con una específica manera de resolver este problema. Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Si desea centrarse en la búsqueda de la mínima diferencia pentagonal número, deje $Q_j = P_j - P_k$$Q_k = P_k$. A continuación, usted desea encontrar un mínimo de $j$ por dos números pentagonales $Q_j$$Q_k$, de modo que $Q_j + Q_k = P_j$ es pentagonal y también a $Q_j + 2Q_k = P_j + P_k$ es pentagonal. La elección de $Q_k = P_k$ es irrelevante, usted necesidad justa de $Q_j,Q_j+Q_k,Q_j + 2 Q_k$ son todos pentagonal por más pequeño posible pentagonal $Q_j$. Para una determinada elección de $Q_j$ usted debe ser capaz de límite inferior y superior de las posibilidades de $Q_k$ (usando la fórmula de números pentagonales, y el hecho de que quieras $3$ pentagonal números en una progresión aritmética), que a su vez le dará límites en $k$ a comprobar. Usted puede incluso ser capaz de reducirlo a un valor de $k$ a comprobar, lo que haría que su programa es muy rápido mientras que la mínima $j$ para este problema no es demasiado grande.

Answer 2

Así es más fácil de resolver el sistema de ecuaciones se presentan en este formulario.

$$\left\{\begin{aligned}&3x^2-xq+3y^2-yq=3z^2-zq\\&3x^2-xq-3y^2+yq=3f^2-fq\end{aligned}\right.$$

A continuación, la solución se puede escribir como.

$$x=-15b^2-4ab+35a^2+2(17b-33a)c+16c^2$$

$$y=50(b-a)(2c-a-b)$$

$$q=6(-25b^2-4ab+25a^2+2(27b-23a)c-4c^2)$$

$$z=-15b^2-24ab+15a^2+2(27b-3a)c-24c^2$$

$$f=-35b^2-24ab+35a^2+2(47b-23a)c-24c^2$$

$a,b,c - $ Cualquier enteros.

A continuación, sólo. Resolver la ecuación. $q=6$

Resolver y, a continuación, sustituir a averiguar si es que existe tal $a,b,c$ al mismo tiempo $x,y,z,f $ es divisible por 6.

Aunque creo que no hay tales números.

La solución puede ser escrita en esta forma.

$$x=b^2+4ab+3a^2+2(b+a)c$$

$$y=8(ab+(b-a)c-c^2)$$

$$q=6(-b^2+4ab+a^2+2(3b-a)c-4c^2)$$

$$z=b^2+8ab-a^2+2(3b-5a)c-8c^2$$

$$f=-3b^2+8ab+3a^2+2(7b-a)c-8c^2$$