Transformaciones de Laplace para dummies

Question

¿Existe una explicación sencilla de lo que hacen exactamente las transformaciones de Laplace y cómo funcionan? La lectura de mi libro de matemáticas me ha dejado en una nebulosa de pruebas que no entiendo del todo. Estoy buscando una explicación en términos sencillos para entender lo que está haciendo al hacer estas transformaciones aparentemente mágicas.

Busqué en el sitio y lo más cercano a una respuesta fue este . Sin embargo, es demasiado complicado para mí.

Answer 1

Hay bonitas lecciones en vídeo en Cursos abiertos del MIT . Estoy especialmente enamorado de este presentación de la transformada de Laplace.

Answer 2

He estado enseñando la transformada de Laplace a una clase nocturna (madura) de ingenieros civiles. Son buenos estudiantes pero no grandes matemáticos. No podían seguir el método de cómo utilizamos la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales hasta que les conté esta historia:

Supongamos que te encuentras con un poema escrito en inglés cuyo significado no entiendes. Supongamos, sin embargo, que conoce a un señor francófono que es un maestro en la interpretación de poemas. Entonces traduce el poema al francés y se lo envía. El caballero francés escribe una interpretación perfectamente buena del poema en francés y te la devuelve, donde tú la traduces de nuevo al inglés y ya tienes el significado del poema.

Obviamente se trata de simples dificultades que tienen estos estudiantes, pero aun así creo que es una bonita historia.

D'accord:

Poema en inglés = Ecuación diferencial. Interpretación en inglés = Solución de la ecuación diferencial. Traducción al Francés = Transformada de Laplace. Poema en francés (mejor interpretación) = Ecuación algebraica (más fácil de resolver). Interpretación en francés = Transformada de Laplace de la solución de la ecuación diferencial. Traducir de nuevo al inglés = Transformada inversa de Laplace.

Answer 3

Voy a abordar este tema desde la izquierda. En mecánica cuántica, tratamos con espacios vectoriales de dimensiones infinitas (espacios de Hilbert), así que tiendo a pensar en las transformaciones integrales en esos términos. Por ejemplo,

$$\int_{-\infty}^{\infty} K(x,y) f(y) dy = F(x)$$

puede considerarse como

$$ \mathbf{K} f = F $$

y $x$ y $y$ de la primera ecuación son los índices de los vectores de dimensión infinita y la matriz (kernel) $f$ , $F$ y $\mathbf{K}$ . Según esta interpretación, si $\mathbf{K}$ es unitaria entonces la integral es sólo un cambio de las bases del espacio de funciones (Hilbert). En otras palabras, la integral puede verse como la descomposición del vector original, $f$ en términos de la nueva base. Para las transformadas de Fourier, el núcleo es unitario y, aunque no es cierto para las transformadas de Laplace, la idea de que se trata de un cambio de base sigue siendo válida. Hay que tener en cuenta que, a diferencia del caso finito, en el caso de dimensión infinita hay que tener cuidado para asegurarse de que la transformada converge realmente, pero eso es otro problema completamente distinto.

Answer 4

Consulte http://www.dspguide.com/CH32.PDF para una excelente explicación de las transformadas de Laplace en el dominio eléctrico.

Answer 5

Eche también un vistazo aquí: muchos recursos excelentes para la transformada de Laplace:
https://mathoverflow.net/questions/383/motivating-the-laplace-transform-definition/2141#2141