Por lo $x\in[0,1]$ va a la función de $y = \sum\limits_{k = 1}^\infty\frac{\sin( k!^2x )}{k!}$ ser diferenciable? Cómo lo sabes?
Aquí está la ecuación se expresa más claramente en Wolfram Alpha. La única diferencia es que 10 debe ser Infinito (Wolfram al parecer no puede manejar eso todavía).
Estoy tratando de entender, por lo $x\in[0,1]$ esta función es diferenciable. He usado una computadora para trazar la gráfica de $y'$ (la derivada de la función) con el límite superior (el número de arriba de la sigma) como 10, y luego con el límite superior como 11, 12... parece que estos "zig-zag" siguen existiendo como que "profundizar" en la función.
...así que estoy pensando en los valores de $x\in[0,1]$ que hacen la función diferenciable son todos de ellos... Pero es mi línea de pensamiento correcto? ¿Cómo puedo validar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Gracias a los grandes comentarios de gente como Henning Makholm, yo tengo una respuesta, y me decidí a resumir aquí. (Por favor, edite este si tengo cualquier inexactitud.)
Primero de todo, me he equivocado en mi supuesta representación gráfica de la derivada. La derivada de y equivale a la suma de los derivados, es decir, $y' = \sum\limits_{k = 1}^\infty\ k!cos(k!^2x)$
Esta suma diverge, es decir, debe ser imposible la gráfica de la derivada. Sabemos que la suma diverge porque cos oscila entre -1 y 1.
Como Henning Makholm dice, "[La gráfica de y] es diferenciable, debido a que para cada $x_0$, la diferencia cociente $\frac{\ f(x)−f(x_0)}{x−x_0}$ puede hacerse arbitrariamente grande para $x$ arbitrariamente cerca de $x_0$." Esto significa que tenemos puntos de no-la diferenciabilidad en cada punto en el gráfico. También, si examinamos la gráfica de y con el aumento de la ampliación, vemos que el "zig zag" siguen apareciendo, y esto confirma, además, el no la diferenciabilidad de todos los puntos.
Por lo tanto, para el no $x\in[0,1]$ es la función y diferenciable.
