Cómo encontrar este límite $\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$

Question

Encontrar este límite

$$\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}$$

mi idea: $$\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\cdot e^x=1$$

Pero el libro es la respuesta no es 1? y ¿Cómo encontrarlo? Gracias

Answer 1

Desde $\log(1+u)=u-\frac12u^2+o(u^2)$ cuando $u\to0$ , $$ x^2\log\left(1+\frac1x\right)-x=x^2\left(\frac1x-\frac12\frac1{x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right)\right)-x=-\frac12+o(1), $$ por lo que el límite que se busca es $\mathrm e^{-1/2}$ .

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Tenga en cuenta que su solución sería válida si se tuviera $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}{\mathrm e^x}=1, $$ mientras que de hecho, $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}{\mathrm e^{x-1/2}}=1. $$

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Otro punto de vista sobre el tema, utilizando $O$ y $o$ Notación de Landau: a priori, su planteamiento da lugar a la estimación $$ \left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\mathrm e^{x+o(x)}, $$ que ni siquiera es suficiente para demostrar que la proporción que te interesa está acotada. Reforzando un poco la estimación, se podría utilizar $$ \left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\mathrm e^{x+O(1)}, $$ lo que implica que la relación que te interesa está acotada pero no que tenga un límite. Lo que hemos hecho arriba es demostrar que $$ \left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\mathrm e^{x-1/2+o(1)}, $$ que sí implica que la relación que te interesa está acotada, y que tiene un límite, y que identifica el límite.

Answer 2

Adivina $$ \lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\cdot e^x=1 $$ Pero deberías añadir algunos pasos más para ver el error. Podrías probar $$ \lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}= \left(\lim \limits_{x\to+\infty}e^{-x} \right)\left(\lim \limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}\right) $$ pero esto tiene forma indeterminada $0 \cdot \infty$ Por lo tanto, no se pueden multiplicar simplemente estos dos factores.