convergencia débil en $L^p$ más la convergencia de la norma implica una fuerte convergencia

Question

Tengo problemas con esto. ¿Alguna idea?

Sea $\Omega$ sea un espacio de medidas. Sea $f_n$ sea una secuencia en $L^p(\Omega)$ con $1<p<\infty$ y que $f \in L^p(\Omega)$ . Supongamos que $$f_n \rightharpoonup f \text{ weakly in } \sigma(L^p,L^{p'})$$ y $$\|f_n\|_p \to \|f\|_p.$$

Demostrar que $\|f_n-f\|_p \to 0$ .

Además, ¿puede presentar un contraejemplo para el $L^1$ ¿Caso?

Answer 1

Desde $1<p<\infty$ el espacio $L^p(\Omega)$ es uniformemente convexa. Esto se deduce de las desigualdades de Clarkson. Ahora utilizamos el siguiente teorema, que se puede estudiar en el libro de Brezis sobre análisis funcional (capítulo III).

Teorema. Sea $E$ sea un espacio de Banach uniformemente convexo, y sea $\{x_n\}$ sea una secuencia débilmente convergente en $E$ es decir $x_n \rightharpoonup x$ para algunos $x \in E$ . Si $$\limsup_{n \to +\infty} \|x_n\| \leq \|x\|,$$ entonces $x_n \to x$ fuertemente en $E$ .

Intente construir un contraejemplo en el $\sigma(L^1,L^\infty)$ topología.