Sala de chat creada por @pcr para hablar de esto: http://chat.stackexchange.com/rooms/2824/direction-of-rotation-of-proton-in-magnetic-field
Aquí una pequeña pregunta paradójica que me pidieron hace mucho tiempo (y ha pedido dos veces ya). Creo que sé la respuesta, pero he pensado que sería divertido pregunte aquí.
Vamos a tomar un protón y dejarla en un campo magnético sale del plano del papel a la pantalla ($\vec{B}=B_0\odot$) Ahora, mirando desde arriba el avión, el protón va en sentido antihorario.
Bien. permite tomar nuestra mano derecha y encontrar la dirección del momento dipolar. Es un protón de las agujas del reloj, por lo que es una de las agujas del reloj actual. Este es un hacia abajo ($\vec{M}=M_0\otimes$) momento dipolar.
Pero, la energía potencial de un dipolo es $U=-\vec{M}\cdot\vec{B}$. Si son antiparalelas, entonces el producto escalar es negativo, con lo que conseguimos $U=-M_0B_0(\odot\cdot\otimes)=M_0B_0$, y es positivo. Compare eso con el caso donde $\vec{M}\parallel\vec{B}$, obtenemos un valor negativo de la energía potencial.
Como todos sabemos, un sistema que tiende a reducir su energía potencial. Entonces, ¿por qué, en este caso, hace un protón deliberadamente elegir la dirección de la rotación con la máxima energía potencial?
Razón por la recompensa
Múltiples cosas. El bountybox no proporciona la capacidad de superponer razones, por desgracia ;)
- Tengo varias respuestas contradictorias, y aunque cada uno es individualmente convincente, cuando se reúne toda la situación se convierte en un revoltijo
- Necesito más gente para echar un vistazo a esto, upvote respuestas están de acuerdo con el comentario, y/o agregar más respuestas.
- Las respuestas podrían ser más claras
- Sería de gran ayuda si las respuestas se explica la paradoja para los diferentes niveles de comprensión.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La energía potencial en este caso debería ser $U=+\vec{m}.\vec{B}$, por tanto el potencial de energía se reduce al mínimo, como debe ser. Aquí está la explicación:
Echemos un vistazo a la derivación de la energía de interacción entre el dipolo magnético y el campo magnético cuidadosamente. El dipolo de energía $U=-\vec{m}.\vec{B}$ se derivan de la utilización de principio de trabajo virtual con una suposición de que el momento dipolar es constante, y por lo tanto es la energía de uno mismo es permanente. Sin embargo, si el momento dipolar es permitido cambiar como en este caso, la propia energía del dipolo es no permanente. Podemos imaginarlo como el $\frac{1}{2}LI^2$ de la energía para el caso de un bucle de corriente, si el cambio de su momento dipolar, su energía interna también va a cambiar. Así que para el caso como este, la propia energía puede ser extraída en energía mecánica. Si tomamos en cuenta el trabajo adicional para cambiar la energía de ser en el principio de trabajo virtual, vamos a terminar con $U=+\vec{m}.\vec{B}$. Siempre podemos calcular el trabajo $\int \tau d\theta$ a cambio de la orientación del dipolo. Sin embargo, en este caso, el momento dipolar no es permanente, por lo que su magnitud será diferente para diferentes orientaciones. Así, el trabajo de cálculo será complicado, pero hay una manera fácil de hacerlo. Podemos utilizar algún tipo de "batería" para mantener el momento dipolar constante y calcular el trabajo el uso de $−\vec{m}.\vec{B}$. Al final del proceso, se vuelve a poner toda la energía dada/robo de la batería, lo que significa que he cambiado de nuevo el momento dipolar del valor que debería haber sido si la batería no estaba allí. En otras palabras, ya deshacerse de todas las influencias de la batería. El trabajo realizado por la batería resulta ser $(−2\vec{m}.\vec{B})$, entonces tenemos
$U=-\vec{m}.\vec{B}-(-2\vec{m}.\vec{B})=+\vec{m}.\vec{B}$
También se puede obtener de la misma $U=+\vec{m}.\vec{B}$ si se calcula el total del campo electromagnético de la energía, algunos detalles de la derivación es en mi blog:
http://emitabsorb.wordpress.com/2011/08/21/m-b-or-m-b/
El campo magnético no funciona en un protón, entonces ¿cómo podemos definir la energía potencial?
Sí, la energía cinética total del sistema se conserva, pero podemos dividirlo en partes. Por ejemplo, podemos aglutinen la energía cinética debido a $v_x$ & $v_y$ y darle un nombre decir $U_1$. El cambio en $U_1$ va a afectar el movimiento de la partícula en $z$ dirección, por lo tanto podemos decir que el $U_1$ es la energía potencial por $z$ dirección. En este caso, nos gustaría saber la tendencia de los protones del angular de la revolución de la velocidad para alinear o contador-alinearse con el campo magnético, así que agrupan parte de la energía cinética y la energía del campo magnético. Como la forma en que se deriva, esta energía puede ser escrito como $\tau=-dU/d\theta$. Por lo tanto, si las agrupa de la energía no es mínimo, habrá de par perpendicular a $\vec{B}$.
Así que ¿por qué no también utilizamos $U=+\vec{m}.\vec{B}$ para el caso de dipolo permanente, ya que es el total real de la energía con la energía de uno mismo ya está incluido en ella?
Sí que es cierto que el derecho de la energía total es:$U=+\vec{m}.\vec{B}$. Pero en este caso la energía potencial, la que tiende a minimizar sí es $U=-\vec{m}.\vec{B}$. La parte de la energía que se puede minimizar el sí mismo es el único que puede ser escrito como $F=-\nabla U$, es decir, la fuerza que tiende a cualquiera de las partículas afectadas por el potencial para el lugar donde $U$ es menor. Por ejemplo, considere un sistema de una tierra y una luna orbitando alrededor de él. Entonces, de repente, la tierra se convierte en dos veces tan grande como antes, con la misma masa. Sabemos que el auto, la energía potencial gravitatoria de la tierra es cambiado, pero no deja ningún efecto sobre la luna. Así que en este caso el auto, la energía potencial gravitatoria de la tierra no es una energía potencial de la luna.
Ahora el único problema que queda en la permanente dipolo caso es que además de la $–\vec{m}.\vec{B}$ parte de la cual puede cambiar de ida y vuelta con la energía mecánica, el resto de las $+2\vec{m}.\vec{B}$(parte de ella es de el dipolo de la propia energía, y el resto es de la propia energía de la constante de $\vec{B}$ campo proveedor) parte también de los cambios misteriosamente y que significa que la energía no se conserva. Para guardar el principio de conservación de la energía siempre se puede inventar un nuevo tipo de energía para que el $+2\vec{m}.\vec{B}$ no es falta o está siendo creado libremente, pero en lugar de eso es sólo cambiando su forma entre la energía electromagnética y de esta nueva energía. Pero creo que no es necesario, porque lo que yo estaba haciendo no es para proteger el principio de conservación de la energía, pero en lugar de proteger a la energía del campo de la interpretación. En realidad el campo de la energía se deriva, asimismo, mediante el principio de trabajo virtual en el primer lugar, pero en este caso el aumento en el total de la energía del campo no es igual a la disminución en la energía mecánica. Por lo tanto para el caso de dipolo permanente creo que el campo de energía de la interpretación no es válida. Si nos atenemos a la definición de $F=-\nabla U$ , estas dificultades nunca se produce.
Yo no soy un experto en electromagnetismo, pero si uno de mis alumnos (de física general, Licenciatura) pregunta, yo diría lo siguiente: la rotación de protones, de hecho, genera un campo magnético, y se comporta como un dipolo magnético para estos fines (y en lo suficientemente grandes distancias). Sin embargo, que sólo afecta al campo creado por este protón, y su interacción de este protón con otras partículas a larga distancia. La energía de interacción entre el campo magnético y el protón no puede ser descrito como $-\vec M\cdot \vec B$, debido a que la expresión es la energía de un punto de dipolo, que nuestro sistema no es. Es como que sería calcular el par de torsión de algo que no es un sólido rígido, simplemente no se aplican.
Aquí están mis resoluciones iniciales a la paradoja.
Mirando en la otra respuesta, esto es probablemente equivocado, pero lo voy a publicar para la integridad' bien. Además, se hará hincapié en lo que sospeché que iba a suceder: varias resoluciones a una paradoja.
El campo magnético no funciona en un protón, por lo tanto no hay PE, y toda la discusión es irrelevante. Tenga en cuenta que esto puede ser malo como el protón sí influye en el campo magnético local.
Un protón haciendo de la UCM puede ser llamado un bucle de corriente. En un bucle de corriente, en cualquier instante dado, tenemos las cargas en movimiento en cada lado. Esto nos da un par. No hay tal pareja aquí.
El argumento de la mínima energía potencial no es aplicable aquí, ya que sólo funciona para las fuerzas conservadoras. Considere la posibilidad de lagrange $L=T(\dot q_i)-U(q_i)$ $q_i$ algunas coordenadas generalizadas. Se asume normalmente que cualquier movimiento provoca disipativo fuerzas para disminuir el $\dot q_i$ con el tiempo, y de ahí el término $T(\dot q_i)$. Ecuaciones de Lagrange a continuación, lea $\dfrac{\partial U}{\partial q_i}=0$ y la consideración de cómo el sistema enfoques que punto va a demostrar que es un local mínimo. Por cierto, el principio es particularmente agradable para ser versátil con respecto a la elección de $q_i$.
Ahora, considere el protón. Su función de lagrange es $L=\dfrac{m v^2}{2}+\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. La energía potencial aquí pueden ser:
1) se Considera cero. A continuación, cualquier estado es el estado de energía mínima.
2) para ser Llevado a $-\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. A continuación, el sistema no es conservador y el argumento no se aplica.
Por lo tanto, la energía argumento de $U\rightarrow U_\min$ no dice nada sobre el estado donde el sistema debe ser.
Si usted interruptor magnético impulso formulación, uso de lagrange $L=\dfrac{m v^2}{2}+{\bf m}{\bf H}$. La asunción implícita acerca de ${\bf m}$ se fija hace que uno se espera que después de bastante disipation el sistema podría llegar a ${\bf m}{\bf H}=-|{\bf m}{\bf H}|$. En su lugar, como se ha visto a partir de lagrange, el sistema sólo trivialmente alcanzar el estado ${\bf v}=0$ y, por tanto,${\bf m}=0$.
Para concluir, la paradoja se deriva de la aplicación de $U\rightarrow U_\min$ y asumiendo ${\bf m}$ constante para la doble significado.
1) La respuesta de F x es incorrecta, no es definitivamente un dipolo magnético momento (y no hay auto-energía aquí en su momento con su propio campo magnético), y de hecho se apunta hacia abajo. Sin embargo, el protón se acelera en su ciclotrón movimiento, la inducción de la radiación y por lo tanto el agotamiento de la energía, la conciliación de esta paradoja.
2) Alexey la respuesta es errónea, porque su Lagrangiano no toma en consideración la dinámica. También sostiene que su Lagrangiano del sistema no se conserva (pero es en su post).
3) clave de la respuesta a Emitabsorb la respuesta:
$U=-m\cdot B$ es el potencial de interacción a partir de un momento en un campo; sólo incluye el trabajo realizado en el establecimiento de un a priori permanente del momento magnético en el campo. No incluye el trabajo realizado en la creación del momento magnético y mantener permanente, sin embargo. Si incluimos este trabajo extra, la energía total del sistema se vuelve $U=+\bar{m}\cdot \bar{B}$. Pero usted todavía desea minimizar la interacción potencial sólo (esto se explica en Jackson Clásica EM libros de texto, pg190 + pg214). Sin EMBARGO, se supone aquí que primero tuvo un momento de $m$ independiente de cualquier de los campos magnéticos, y luego lo trajeron en $B$. Esto simplemente no se aplican a nuestro escenario... si usted escriba el Lagrangiano de un protón en un campo magnético, no hay potencial de la interacción de $\pm m\cdot B$ que aparece (porque no existe a priori ninguna fijo momento); se trata simplemente de $\mathcal{L}=\frac{1}{2}m_0v^2-\frac{e}{c}\bar{v}\cdot \bar{A}$. En este apartado, junto con mi aceleración-observación, resuelve la paradoja!!!
Mi aceleración-comentario:
En efecto, usted está tratando de considerar un casiestática solución a este problema, sin tomar en consideración la dinámica. El protón círculos a su alrededor y produce radiación ciclotrón, la amortiguación de su movimiento (es decir, la amortiguación de radiación). Usted puede formar un Lagrangiano para manejar esto, y el mínimo de la energía potencial se logra.
