Solución de ecuaciones diferenciales $y(0)=1$ $y^{(n)}=y+1$

Question

Cuando yo era la solución de algunas ecuaciones diferenciales, yo me hice la siguiente: Hay una función tiene la siguiente: $$y'=y+1$$ $$y''=y+1$$ $$y'''=y+1$$ $$......$$ $$......$$

Si el valor inicial es $$y(0)=1$$

Answer 1

Así que usted tiene que $$y'=y''=y^{(3)}\cdots$$ only function that is a derivative of itself is $$ae^{x}$$ for some $un$ so $$y'=ae^x$$ and $$y=y'-1=ae^x-1$$ Y desde $y(0)=1$ $a-1=1$ $a=2$

Answer 2

Todos sus ecuaciones diferenciales a partir de la primera están implícitas en la primera ecuación. Si $y'=y+1$, entonces la diferenciación de da $y''=y'$ y una mayor diferenciación da las sucesivas ecuaciones. Por lo que en realidad es sólo acerca de la solución de la primera ecuación con el valor inicial, y esto se puede hacer.

Answer 3

La solución a $$ y' = y + 1,\ y(0)=1$$ es $y = 2e^x -1$ que se puede encontrar a partir de su método de elección para el primer orden no homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ahora vamos a ver lo que los derivados aspecto

$$y' = 2e^x$$

$$y'' = 2e^x$$

$$y''' = 2e^x$$

Podemos ver claramente $y^{(k+1)} = y^{(k)}\ \forall k\in\mathbb{Z},k\geq1 $. Por lo tanto todos $n$th-derivados de $y$ son iguales por inducción, y como $y'$ satisface las condiciones para hacer todas las $y^{(k)}$.

Editar:

Si usted está interesado, aquí está cómo usted podría solucionar esto usando aniquiladores, mi método de elección para los problemas simples como este (yo prefiero la de Laplace para el más difícil). Primero re-organizar la ecuación a decir:

$$y'-y=1$$

Encontramos la solución general, $y_c$ mediante el establecimiento de la RHS a $0$:

$$y_c'-y_c = 0$$

Para los que asumimos $y_c = Ce^{mx} \Rightarrow mCe^{mx}-Ce^{mx} = 0 \Rightarrow m = 1$ ello $y_c = Ce^x$. Necesitamos encontrar a $y_p$ ahora.

Como $D$ aniquila $1$, suponga $y_p = a$. A continuación, $y' = 0$ e lo $0 - a = 1$$a=-1$. Todos juntos tenemos $y = Ce^x-1$. Más

$$y(0) = Ce^0 - 1 = 1 \Rightarrow C = 2 \therefore y= 2e^x -1$$