$\int_{0}^{x} f(t) dt \ge {f(x)}$ mantiene o no en $[0,1]$

Question

Deje $$f\colon [0,1]\rightarrow [0, \infty )$$ de ser continuo. Supongamos que

$$\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm dt \ge {f(x)} \quad\text{for all }x\in[0,1].$$

Entonces

$A.$ No hay tal función existe.

$B.$ Hay infinitamente muchas de tales funciones.

$C.$ No es sólo una función de

$D.$ Hay exactamente dos funciones.

Ahora yo estaba pensando, ya que $\int_{0}^{x} f(t) dt$ es el área bajo la gráfica de $f(t)$$0$$x$, por lo que puede ser fácilmente hecho mayor que el valor de $f(t)$ a un punto, a saber,$x$. Por lo que habrá un número infinito de funciones tales que cumplan esta condición.

Es mi razonamiento correcto o no?

Gracias.

Answer 1

Tu razonamiento tiene un gran agujero - la condición se supone que tienen validez para todos los $x$, y hablar solo de una $x$.

Decir $f\le c$. A continuación, la desigualdad muestra que $f(x) \le cx$. Ahora se integran $cx$ y ver que $f(x)\le c x^2/2$. Y, a continuación,$f(x)\le cx^3/6$. Por inducción $f(x)\le cx^n/n!$. Deje $n\to\infty$ ver $f(x)=0$. Así que hay exactamente un ejemplo de la función.

Answer 2

Nos deja modificar el problema un poco.

Suponga que la función de $$ f:[0,a]\[0,\infty) $$ es continua y que $$ \int_{0}^{x}f(t)\, dt \ge f(x) \quad \text{para todo } x\in[0,a]. $$ A continuación, $f(x) = 0$ todos los $x\in[0,a]$.

Prueba. Podemos reescribir la desigualdad como $$ \dfrac{d}{dx}\left(e^{-x}\cdot\int_{0}^{x}f(t)\, dt\right) \le 0 \quad \text{para todo } x\in[0,a]. $$ En consecuencia, la función de $$ x\mapsto e^{-x}\cdot\int_{0}^{x}f(t)\, dt $$ está disminuyendo y se lleva a su máximo en $x=0$. Así $$ e^{-x}\cdot\int_{0}^{x}f(t)\, dt \le 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{x}f(t)\, dt \le 0. $$ Sin embargo $f$ es no-negativa y continua. Llegamos a la conclusión de que $f(x) = 0$ todos los $x\in[0,a]$.

Answer 3

Deje $f$ ser una función de este tipo. Si $0<x< 1$, a continuación, por el horario laboral, no existe $\xi\in (0,x)$ con $$\int_0^xf(t)\,\mathrm dt=xf(\xi)\stackrel{(1)}\le x\int_0^\xi f(t)\,\mathrm dt\stackrel{(2)}\le \int_0^\xi f(t)\,\mathrm dt\stackrel{(3)}\le \int_0^xf(t)\,\mathrm dt.$$ Llegamos a la conclusión de que $(1)$, $(2)$, y $(3)$ son de hecho la igualdad. El segundo significa que $\int_0^\xi f(t)\,\mathrm dt=0$, la tercera que $\int_\xi^x f(t)\,\mathrm dt=0$, por lo que, de hecho,$\int_0^x f(t)\,\mathrm dt=0$. Como esto vale para todos los $x\in(0,1)$ $f$ es continua, llegamos a la conclusión de $f(x)=0$ todos los $x\in[0,1]$. Por eso, $C$ - respuesta final.