Por qué infinito cardinalidades no son "denso"?

Question

Lo que nos dice que la estructura de los cardenales es "discreto"? Yo no estoy usando las palabras "discreta" y "denso" con su formal de los significados.

Tal vez tengo esta confusión porque estoy usando conceptos que no he formalizado (en mi mente), pero en otras palabras ¿por qué podemos hablar de sucesor de un infinito cardenal?

Quién nos dice que no hay un cardenal $\kappa$ tal que $\aleph_\alpha\lt\kappa\lt\aleph_\alpha^+$?

Para exaple cuando hablamos de $\mathbb Q$ no podemos encontrar el sucesor de un número $q^+\in\mathbb Q$ tal que $\nexists r (q\lt r \lt q^+)$.

Si tengo que definir a qué me refiero con el sucesor yo wold decir esto:

Vamos a ser $(A,\lt) $ total de la orden estricto y $a\in A$ I definir $succ_\lt(a)=a^+$ si $\nexists b\in A(a\lt b\lt succ_\lt(a))$

Cómo matematicians saber que si cardinalidades son linealmente ordenado existe un sucesor (como para finito de conjuntos) con las propiedades que he definido? Lo que si infinito cardenales tienen la estructura de los números racionales?... a continuación, podemos encontrar entre dos conjuntos infinitos siempre un número infinito de conjuntos infinitos con tamaños intermedios? Por qué no es posible?

Answer 1

Los cardenales están bien ordenadas. La definición que usted está buscando, por cierto, se llama dispersos, en lugar de "discreto".

La razón por la que son bien ordenados es que hacemos uso de los números ordinales para definir los cardenales. Esta es una buena cosa, porque hacemos mucho uso de este hecho, porque bien-los pedidos son fáciles de introducir a más, mientras que la densa órdenes son más difíciles de tratar en este aspecto.

Definimos el infinito cardenales como particular ordinales de la siguiente manera:

• $\aleph_0=\omega$, el menos infinito ordinal.
• $\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}$ cual es el menor ordinal $\delta$ tal que $\omega_\alpha<\delta$, y no hay bijection entre los dos.
• Si $\aleph_\alpha$ fueron definidos por $\alpha<\beta$ un límite ordinal $\beta$,$\aleph_\beta=\omega_\beta=\sup\{\omega_\alpha\mid\alpha<\beta\}$.

Tenemos que la función de $\alpha\mapsto\aleph_\alpha$ es una orden-la preservación de bijection, por lo que los cardenales tienen las mismas propiedades que los ordinales cuando llegue a su fin.

Usando el axioma de elección de cada conjunto es equipotente con un ordinal, lo que significa que cada conjunto se le puede asignar un $\aleph$ número. Tenga en cuenta que la cardinalidad ignora cualquier otra estructura que puede estar asociada con un conjunto particular, como $\Bbb Q$ es contable, pero no es el fin de la preservación de bijection entre el$\Bbb Q$$\Bbb N$.

Por otro lado, si tenemos en cuneta el axioma de elección y reemplazarlo con su negación, a continuación, no todos los cardenales son ordinales y hay un montón de lío. Aún no es necesario de que hay cosas que se parecen a $\Bbb Q$, pero que es coherente que hay.

Con respecto al sucesor tenemos que los tres principales definiciones que son equivalentes bajo el axioma de elección no son equivalentes, y aun $\aleph_0$ podría tener varios sucesores. Ver mi respuesta aquí para más detalles en la última parte.

Pero en aquellos modelos de $\sf ZF$ donde el axioma de elección falla, nosotros apenas sabemos nada acerca de la estructura de los cardenales. De hecho, sabemos muy poco sobre la estructura de los cardenales en arbitraria modelos de $\sf ZF$. Sabemos que se puede conseguir bastante loco, pero que es eso.

Answer 2

Suponiendo que la Elección se sigue que hay una orden de preservación de la bijection entre los números ordinales y las (infinitas) de los cardenales. (Aquí es donde las notaciones $\aleph_0 , \aleph_1 , \ldots , \aleph_\alpha , \ldots$ proviene.) Como cada conjunto de números ordinales tiene al menos un elemento, el mismo es cierto acerca de los conjuntos de los números cardinales.

En particular, dado ningún cardenal $\kappa$ $\kappa < 2^\kappa$ podemos considerar el conjunto $\{ \lambda : \kappa < \lambda \leq 2^\kappa \}$, y el menor elemento de este conjunto para obtener el menor número cardinal mayor que $\kappa$.

Answer 3

Si se me permite añadir, en CA supuesto, existe un sucesor más de $\mathbb Q$, incluso por encima de $\mathbb R$. Estos simplemente no son compatibles con el habitual orden lineal en que definimos en estos conjuntos.