Si K/k es finita normal de extensión de los campos, hay siempre un intermedio campo de F, tal que F/k es puramente inseparable y K/F es separable?

Question

Me sentía un poco oxidado en mi teoría de campo, y yo estaba revisando de McCarthy excelente libro, Algebraicas Extensiones de Campos. Fuera del Capítulo 1, yo era capaz de trabajar todo "a la izquierda para el lector" o se omite, excepto para un corolario, afirma sin prueba (ver aquí para la página en el libro):

Deje $K/k$ ser finita normal la extensión. A continuación, $K$ puede ser obtenida por puramente inseparable de extensión, seguido por una extensión separable.

El texto inmediatamente anterior, esto implica que el intermedio de campo que va a hacer que esto suceda es $F=\{a\in K:\sigma(a)=a$ todos los $\sigma\in Gal(K/k)\}$, y entiendo su argumento de por qué $F/k$ es puramente inseparable (de hecho, ese es el teorema, el Teorema de 21, que este es un corolario). Lo que yo no entiendo es por qué $K/F$ es separable; no veo cómo hemos descartado que de no ser puramente inseparable.

Tenga en cuenta que voy a estar haciendo una distinción entre no puramente inseparable (inseparables, pero no puramente inseparable) y no puramente inseparable (ya sea separable o no puramente inseparable).

Aquí están algunas de las observaciones / mi enfoque general:

• Una gran cosa que parecía prometedora fue Teorema 11 (en la parte inferior de esta página), que es básicamente el reverso de la conclusión, estoy teniendo problemas con:

Deje $K$ ser arbitraria algebraicas extensión de $k$. A continuación, $K$ puede ser obtenida por separables extensión seguido por una puramente inseparable de extensión.

(el separables extensión se refiere, por supuesto, la separables cierre de $k$$K$). Parece que queremos usar el Teorema 11 $K/F$, y argumentan que no puede ser "más" puro inseparabilidad, pero no pude encontrar una manera de hacer esto.

• Teorema 21 es en realidad un "si y sólo si" (es decir, $a\in K$ es puramente inseparable sobre $k$ fib $\sigma(a)=a$ todos los $\sigma\in Gal(K/k)$). Porque esto implica que cualquier $a\in K$ $a\notin F$ no es puramente inseparable sobre$k$, $F$ es el máximo (no sólo la máxima) puramente inseparable de la extensión de $k$$K$.

• Si alguna de las $a\in K$ eran puramente inseparable sobre $F$, por el Teorema 8 (ver aquí), hay algunos $e$ que $a^{p^e}\in F$. Pero por el mismo teorema, ya que $F/k$ es puramente inseparable, hay algunos $b$ que $(a^{p^e})^{p^b}=a^{p^{e+b}}\in k$. Por lo tanto $a$ sería puramente inseparable sobre $k$ por el recíproco (Corolario 1 a Teorema 9, ver aquí), y, por lo tanto, en $F$. Por lo tanto, $K$ (y de cualquier campo entre el$K$$F$, además de a $F$ sí) no es puramente inseparable sobre $F$.

Así que por eso no veo cómo hemos descartado $K/F$ no puramente inseparable. Lo siento por hacer un montón de referencias al libro - es solo que no estoy seguro de lo previamente establecido, los resultados de McCarthy destinados a ser utilizados, y yo quería señalar lo vi como los más importantes para las personas que no están familiarizados con el libro. Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo que es obvio aquí. ¿Alguien ha visto el último bit de la discusión?

Answer 1

Queridos Zev, como el LÁSER señaló, Lang Proposición 6.11, de hecho, se resuelve el problema. Aún así, me gustaría añadir dos comentarios en los que se podría poner el problema en perspectiva.

A) Dado un campo $K$ y un grupo de automorfismos $G$ $K$ obtenemos un campo fijo $K^G$ y una extensión de $K^G \subset K$ . Esta extensión es algebraico si y sólo si todas las órbitas de $G$ son finitos, y si este es el caso de la extensión es siempre separables: cada elemento de a $x \in K$ tiene como mínimo polinomio sobre $K^G$ el producto $\prod \limits_{y \in Orb(x)}(T-y)$. [Permítanme enfatizar que: i) no hay ningún campo base $k$ en esta declaración general, y ii) el grupo de $G$ puede muy bien ser infinito, con todas sus órbitas finito: cada infinitas dimensiones galois de la extensión proporciona un ejemplo.]

B) La afirmación es falsa si usted no asume la normalidad de $k \subset K$ (como estoy seguro que lo has adivinado!). He aquí un ejemplo tomado de Bourbaki del Álgebra V, ejercicio 3) §5.

Tome un campo $F$ de los característicos $p>2$ y definen $k=F(x,y)$ donde $x,y$ son indeterminates. Deje $\theta$ ser un cero del polinomio $P(T)=T^{2p}+xT^p+y$ (en una clausura algebraica de $k$, por ejemplo).Entonces si ponemos $K=k(\theta)$, tenemos nuestra contra-ejemplo: ningún elemento en $K$ es puramente inseparable sobre $k$, excepto si ya está en $k$. Y, sin embargo, $K$ no es separable sobre k desde el polinomio mínimo de a$\theta$$k$$P(T)$ , lo que obviamente no separables.

Answer 2

Edit: Mi error, entendí mal tu post. Aquí está la respuesta correcta.

http://books.google.com/books?id=FJmiSW1KRBAC&lpg=PP1&ots=k1ecm3FdbZ&dq=lang%20algebra&pg=PA251#v=onepage&q=&f=false

La proposición 6.11

Answer 3

Al menos en el caso finito, estoy bastante seguro de esto se deduce del teorema fundamental de la teoría de Galois: si $F$ es un campo, $G$ finita grupo de automorfismos de a $F$, y el campo fijo de $F$$k$, $f/k$ es de Galois con grupo de Galois $G$.