¿qué fue de Hilbert de la construcción geométrica en su 17ª problema?

Question

Hilbert del 17 de problema se le preguntó si un real no negativo polinomio es la suma de los cuadrados de las funciones racionales. Se contestó afirmativamente Artin en alrededor de 1920. Sin embargo, en su discurso, él también se le preguntó si las funciones racionales podría tener coeficientes más Q en lugar de R. Aquí es el relavant parte de su discurso

"Al mismo tiempo, es deseable, por ciertas dudas en cuanto a la posibilidad de que ciertas construcciones geométricas, para saber si los coeficientes de los formularios a ser utilizados en la expresión pueden ser tomadas desde el ámbito de la racionalidad dada por los coeficientes de la forma representada."

¿Alguien sabe lo que estos "ciertas construcciones geométricas"?

Parece que tal vez a mí que Hilbert estaba intentando incrustar racional proyectiva del espacio de dimensiones superiores racional proyectiva del espacio a través de estos polinomios. Brevemente, dado un positivo homogénea función de $f(x_0,\ldots, x_n)$ con coeficientes racionales induce una métrica en $QP^n$. Supongamos que el sueño de Hilbert tiene que $f=p_0^2+\cdots + p_N^2$ donde $p_i$'s son polinomios con coeficientes racionales. A continuación, el mapa de $p: QP^n\to QP^N$ donde $p(x)=(p_0(x),\ldots, p_N(x))$ es una isométrica incrustación de objetos (casi!) donde la métrica inducida por $f$ es el retroceso de la espalda de la métrica Euclidiana en $QP^N$.

El de arriba es solo mi peligro. Pero yo estaría encantado si alguien es consciente de lo que exactamente Hilbert la intención de "construcciones geométricas".

Answer 1

En realidad, la respuesta está en las secciones 36 a 39 de Hilbert "Fundamentos de la geometría", que se puede encontrar en la web. Las construcciones son la construcción con "la regla" (regla) y "transferrer de los segmentos". Cito un resultado de Hilbert del libro :

Teorema 41. Un problema en la construcción geométrica es, entonces, posible de solución mediante el dibujo de líneas rectas y el despido de los segmentos, es decir, por el uso del borde recto y un transferrer de segmentos, cuando y sólo cuando, por la solución analítica del problema, las coordenadas de los puntos son tales funciones de las coordenadas de los puntos dados como puede ser determinado por la las operaciones racionales y, además, la extracción de la raíz cuadrada de la suma de dos plazas.

Este resultado se explica relativamente bien ¿por qué este tipo de construcciones geométricas conduce a la cuestión de la determinación de las funciones de $x_1,\ldots,x_n$ que puede ser escrito como suma de cuadrados de funciones racionales con coeficientes racionales.