Si $a,b,c,d>0$ y $a+b+c+d=4$ y $\frac{1}{11+a^2}+\frac{1}{11+b^2}+\frac{1}{11+c^2}+\frac{1}{11+d^2} \leq \frac {1}{3}$

Question

Probar si $a,b,c,d>0$ y $a+b+c+d=4$ y $$\dfrac{1}{11+a^2}+\dfrac{1}{11+b^2}+\dfrac{1}{11+c^2}+\dfrac{1}{11+d^2} \leq \dfrac {1}{3}$ $

Esto fue una desigualdad Olimpiada Problem1. Probé usando el método de multiplicadores de Lagrange. ¿Se puede hacer sin cálculo?

Answer 1

desde $$\dfrac{1}{11+x^2}\le\dfrac{7-x}{72}$ $ porque #% del %#% $ $$\Longleftrightarrow (7-x)(11+x^2)\ge 72$de #% $ $$\Longleftrightarrow x^3-7x^2+11x-5\le0 $$ esto es cierto

así $$\Longleftrightarrow (x-1)^2(x-5)\le 0$ $

Answer 2

(Esta respuesta se utiliza un poco de elementales de cálculo, que puede ser evitada con algunos epsilonology. Sirve como un peatón introducción a math110 la respuesta.) Tenemos una restricción lineal en las variables; y la función de destino es una combinación lineal de la misma función que se aplica a cada variable, es decir, de la función dada en forma cartesiana por $$y=\dfrac{1}{11+x^2}.$$This is a bell-shaped curve and, to exploit the linear structures already noticed, we seek a linear upper approximant for it, over the interval $[0,1],$ which is exact at the critical point $(x,y)=(1,1/12).$ The gradient of the curve at this point is $-2\veces 1/(11+1^2)^2=-1/72.$ A little coordinate geometry gives the equation of the tangent at $x=1$ as$$y=\dfrac{7-x}{72}.$$That this is an upper approximant for the curve over $[0,1]$ está demostrado rigurosamente en math110 la respuesta, y el resto de la deducción puede ser seguido en la respuesta.

Answer 3

Esto no es una pregunta difícil!

en primer lugar es fácil ver:

$abcd\le1$

y asumimos:

$a\ge{b}\ge{c}\ge{d}$

luego usamos la desigualdad siguiente:

$$\frac{a^2}{b+c+d}\ge\frac{b^2}{a+c+d}\ge \frac{c^2}{b+a+d}\ge\frac{d^2}{b+c+a}\\\Longrightarrow\dfrac{1}{11+a^2}+\dfrac{1}{11+b^2}+\dfrac{1}{11+c^2}+\dfrac{1}{11+d^2} \leq \\\dfrac{1}{11+a^2}+\dfrac{1}{11+a^2\cdot\frac{(4-b)^2}{(4-a)^2}}+\dfrac{1}{11+a^2\cdot\frac{(4-c)^2}{(4-a)^2}}+\dfrac{1}{11+a^2\cdot\frac{(4-d)^2}{(4-a)^2}} \leq \frac{4}{11+a^2}\le\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Answer 4

Oh lo sentimos, hay algunos detalles en mi post! omitir y lo escribo aquí:

$\Longrightarrow\dfrac{1}{11+a^2}+\dfrac{1}{11+b^2}+\dfrac{1}{11+c^2}+\dfrac{1}{11+d^2} \leq \\\dfrac{1}{11+d^2}+\dfrac{1}{11+d^2\cdot\frac{(4-b)^2}{(4-d)^2}}+\dfrac{1}{11+d^2\cdot\frac{(4-c)^2}{(4-d)^2}}+\dfrac{1}{11+d^2\cdot\frac{(4-a)^2}{(4-d)^2}} $

esta desigualdad tiene, es que si asumimos:

$a=\frac{1}{x_{1}}$$,b=\frac{1}{x_{2}}$$,c=\frac{1}{x_{3}}$$,d=\frac{1}{x_{4}}$

entonces, transformar la desigualdad:

$\Longrightarrow\dfrac{x_{1}^2}{11x_{1}^2+1}+\dfrac{x_{2}^2}{11x_{2}^2+1}+\dfrac{x_{3}^2}{11x_{3}^2+1}+\dfrac{x_{4}^2}{11x_{4}^2+1}\le{\dfrac{4x_{4}^2}{11x_{4}^2+1}}\le\frac{1}{3}$

y $f(x)=\dfrac{x^2}{11x^2+1}$ monótona en su dominio.

la sugerencia es:

su desigualdad alcanza su límite superior como:

$a=b=c=d$ y $d$ puede sustituirse por $a$!

de modo que la desigualdad parece factible!