¿Por qué sólo es posible con senos periódicos análisis armónico?

Question

Este documento muestra que si tenemos en cuenta impar funciones en $(-\pi,\pi)$$L_2$, entonces la única $2\pi$-función periódica $f$ que $f(nx)$ es un completo sistema ortogonal es la función seno.

Voy a interpretar libremente esta diciendo que el convencional periódico el análisis armónico es posible sólo con los senos, lo cual es muy poco intuitivo. Por qué no puedo usar la forma de onda cuadrada, o de la forma de onda triangular, o algo de suave forma de onda (similar a sine pero diferentes) como base para el armónico de descomposición?

Asegúrese de que el papel da una prueba. Pero su prueba es una prueba por la exclusión. Ellos no usar ninguna de las propiedades de los senos, excepto que los senos forman un sistema completo. Ellos esencialmente demostrar que sólo puede haber un sistema completo de esta forma, y puesto que ya sabemos que los senos están completas, que se opone a la de otros sistemas, de la existencia.

Pero esa prueba no explica por qué es la condición sine tan especial; ¿cuál es la única propiedad que sólo tiene? Dicho de otra manera, si yo fuera de Fourier, ¿cómo iba yo a saber que considerar los senos, excepto por prueba y error? Es posible derivar esta forma de onda en el hecho de que $f(nx)$ es ortogonal y completa en el espacio de funciones impares en $(-\pi,\pi)$?

La actualización. Gracias por los antecedentes históricos, pero esta pregunta está más preocupado con la matemática de la historia. Es decir, de cómo se puede "calcular" $\sin x$ como la única $2\pi$-periódico $f$ que $f(nx)$ es ortogonal y completa en el espacio de la extraña $L_2$ funciones $(-\pi,\pi)$. No se puede adivinar la respuesta, o cómo una particular Jean-Baptiste Joseph Fourier adivinado.

Answer 1

Recuerde que ortogonal significa nada si no se especifica el producto escalar (norma) que utilizas para definirlo. Hay otros conjuntos de funciones que son ortogonales y completa pero lo están bajo diferentes normas. Sólo son especiales en un espacio de Hilbert donde la norma es el definido por la transformada de Fourier seno y coseno.

Answer 2

(Muy handwavy) creo que la fórmula de Euler se sabe que la transformada de Fourier: $e^{\iota \phi} = \cos \phi + \iota \sin \phi$, y el isomorfismo entre el$\mathbb{R}^2$$\mathbb{C}$. Por lo que parece ser un "primitivo" de calidad para las funciones trigonométricas ("trascendental", más bien).

Wikipedia parece insinuar que la transformada de Fourier del resultado (expansión de la arbitraria de funciones en el seno de la serie) fue una combinación de suerte, la intuición y el error (el anterior no es válida en todos los casos).

Yo creo que uno de mis análisis profs (hace años) mencionó que la transformada de Fourier estaba trabajando en geometrías cilíndricas (cannon, en particular), que es un ajuste de periódicos de las condiciones de contorno, que son satisfechos por el trigonométricas ansatz.

Por otra parte, una vez que usted puede probar la integridad de una base establecida a través de un determinado espacio, de cualquier otra forma puede ser obtenida mediante la superposición lineal de la base original conjunto, por lo que normalmente se escoge la más sencilla para empezar.