Cómo encontrar el centro de un círculo desde solo un arco arbitrario de ese círculo

Question

Cómo encontrar el centro de un círculo con un arco arbitrario dado. Solo tenemos el arco y nada más. ¿Existe alguna ecuación conocida o forma de completar el círculo?

Answer 1

Elige dos puntos en el arco; construye el bisector perpendicular de la línea entre ellos. Haz lo mismo para otros dos puntos en el arco; donde se cruzan estas dos líneas es el centro del círculo.

Answer 2

Toma cualquier tres puntos arbitrarios en el arco. Ahora, une estos puntos entre sí. Luego, dibuja los bisectores perpendiculares de estas líneas. El punto de intersección de estos bisectores perpendiculares sería el centro del círculo del cual se da el arco. Dado que cualquier punto del bisector perpendicular de cualquier segmento de línea está equidistante de sus puntos finales.

Answer 3

Aquí hay una alternativa que funciona no solo para encontrar el centro de un círculo a partir de uno de sus arcos, sino también para encontrar el centro de una elipse:

Dibuja dos cuerdas no paralelas con extremos en el arco. Para cada una de ellas, dibuja una segunda cuerda paralela a la primera, también con extremos en el arco. Construye el punto medio para cada cuerda. Para cada par de cuerdas paralelas, dibuja la línea a través de sus puntos medios. Estas dos líneas se intersectarán en el centro del círculo (o elipse).

Esto funciona para círculos porque las líneas a través de los puntos medios de cuerdas paralelas son bisectores perpendiculares de esas cuerdas, por lo tanto, pasan por el centro. Funciona en general porque una elipse es una transformación lineal de un círculo. Las transformaciones lineales no (en general) conservan la perpendicularidad, en lo que la mayoría de las otras respuestas dadas aquí confían, pero sí conservan la paralelidad y las relaciones de longitud (por ejemplo, la igualdad) de segmentos de línea a lo largo de una línea.

(Tengo que darle el crédito por esta solución a Loren Larson, quien la ideó hace años, cuando le pregunté si era posible construir, con regla y compás, el centro de una elipse dado solo la elipse en sí misma.)

Answer 4

Sean $A$, $B$ y $C$ los puntos en el arco circular con centro en $O$ y radio $R$. Entonces

$$\begin{align} e_A&=(A_x-O_x)^2+(A_y-O_y)^2, \\ e_B&=(B_x-O_x)^2+(B_y-O_y)^2, \\ e_C&=(C_x-O_x)^2+(C_y-O_y)^2, \\ e_A&=e_B=e_C=R^2. \end{align}$$

Al eliminar términos de segundo orden $O_x^2$ y $O_y^2$

$$\begin{align} e_B-e_A&=0, \\ e_C-e_B&=0, \end{align}$$

obtenemos un sistema lineal simple de $2\times 2$ en términos de las coordenadas $O_x$ y $O_y$ del centro:

$$\begin{bmatrix} A_x-B_x & A_y-B_y \\ B_x-C_x & B_y-C_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} O_x \\ O_y\end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} A_x^2-B_x^2+A_y^2-B_y^2 \\ B_x^2-C_x^2 +B_y^2 -C_y^2 \end{bmatrix}.$$

Answer 5

Esto se puede hacer tomando 3 puntos en el arco y dibujando los bisectores perpendiculares de la línea que une estos puntos, el punto de intersección es el centro Déjame mostrarlo con un ejemplo: Toma tres puntos A, B y C tomados en orden en el arco. Dibuja el bisector perpendicular de AB y BC. El punto en el que los bisectores perpendiculares se intersectan es el centro.