Problema de la Olimpiada: Erdos-Selfridge

Question

El siguiente problema es un caso especial del teorema de Erdos-Selfridge: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256050816

Problema: Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ el producto $(n+1)(n+2)...(n+10)$ no es un cuadrado perfecto.

Apareció como un problema de olimpiada, así que hay una solución usando sólo técnicas de olimpiada (es decir, matemáticas "elementales"), y tampoco debería ser demasiado larga porque en una olimpiada sólo tienes tiempo limitado. Sin embargo, después de intentarlo durante casi un día no he conseguido nada interesante. He probado con versiones más sencillas pero no ha servido de nada. ¡Agradecería cualquier ayuda!

EDIT: No he encontrado la solución en ningún sitio, he probado en la sección de concursos de AoPS. Es de la prueba de selección de equipos de Bosnia Herzegovina de 2002, por si alguien quiere intentar buscar.

Answer 1

Aquí hay un inicio ampliado. Los múltiplos de dos se encuentran en las posiciones Impares o en las posiciones pares e incluyen al menos un múltiplo de $8$ - si dos múltiplos de $8$ entonces uno es un múltiplo de $16$ .

Hay tres múltiplos de tres (al menos uno de ellos es par) o cuatro, si $n+1$ es un múltiplo de tres, y dos de ellos son pares. Hay como máximo dos múltiplos Impares de tres.

Hay dos múltiplos de $5$ uno de los cuales debe ser par.

Hay uno o dos múltiplos de $7$ , de los cuales a lo sumo uno puede ser impar.

Así que de nuestros diez números, cinco son pares. De los números Impares a lo sumo dos son divisibles por $3$ , uno por $5$ y uno de $7$ . Esto deja un número impar en el producto que no tiene un factor primo menor que diez. Este debe ser un cuadrado impar cuyos factores primos son todos $\ge 11$ .

Obsérvese que tenemos que separar los múltiplos Impares de $3,5,7$ para evitar tener dos cuadrados Impares con factores primos grandes (lo cual es imposible, porque los cuadrados grandes no pueden estar tan juntos).

Ahora analiza los posibles patrones, asignando los primos $2$ y $3$ a las posiciones en la secuencia. Obsérvese que un cuadrado impar que no es múltiplo de $9$ es $\equiv 1 \mod 24$ y esto se tiene en cuenta a continuación, en que el cuadrado tiene que seguir un múltiplo de $6$ . También los múltiplos de $5$ ou $7$ pueden estar presentes (aquí están los que $n+1$ es par)

$[2,3], [5/7/s],[2],[3],[2], [5/7],[2,3],[5/7/s],[2],[3]$

$[2],[3],[2],[7 - 2 \text{ is not a square mod } 5],[2,3,5^*],[s \text { only place for square }],[2],[3],[2],[5 -\text{ only place for } 5]$

*Incluso múltiplo de $5$ identificados a través de otros criterios

$[2],[5,7],[2,3],[5/7/s],[2],[3],[2],[5/7], [2,3], [5/7/s]$

y de forma similar para los casos en los que el primer término es impar

Ahora se pueden analizar en términos de potencias superiores de los primos pequeños (teniendo en cuenta lo que se sabe sobre $s$ y los residuos cuadráticos módulo $5$ y $7$ - un ejemplo de esto se da más arriba). Obsérvese que las potencias totales de los primos pequeños deben ser todas pares. Obsérvese también que cualquier factor primo $p\gt 7$ de cualquier término debe implicar $p$ a una potencia uniforme.

Creo que un análisis cuidadoso eliminará la mayoría de los casos fácilmente.

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Trabajando hacia adelante desde la plaza que tenemos:

$[s], [2], [3], [4], [5a], [2,3], [7], [8b], [3], [2,5]$

$a$ sabemos que $s\equiv -4$ modulo el primo aquí. $3$ no es un factor primo

$b$ puede ser cualquier poder de $2$ que es al menos $8$ . Otras potencias de dos son exactas. Las potencias de $3,5,7$ podría ser mayor

Trabajando hacia atrás desde el cuadrado

$[?f],[2,3],[5e],[4],[3],[2],[7d],[8c,3,5e'],[s],$

$c$ cualquier potencia de dos $\ge 8$

$d$ nota que $2$ no es un mod cuadrado $5$ . Las dos posiciones para los múltiplos Impares de $7$ antes y después del cuadrado son incompatibles, por lo que la secuencia debe evitar tener ambos.

$e$ único lugar para $5$ , $e'$ Obsérvese ahora que de cualquier manera el cuadrado es congruente con $1$ mod $5$ .

$f$ es ahora imposible de llenar.

Por lo que la secuencia debe ser una subsecuencia de diez elementos de

$[2,3],[5],[4],[3],[2^*],[7^*],[8,3,5],[s], [2], [3], [4], [5], [2,3], [7], [8], [3], [2,5]$

$^*$ no puede comenzar aquí, debido a los sietes incompatibles

Answer 2

El producto es igual a 2^5 x (número impar) . 5 no es par, por lo que el producto no puede ser un cuadrado.

Saludos cordiales