Sugerencia: Tome la sexta potencia de ambos lados.
Agregado: (para la integridad, después de que el OP ha utilizado la sugerencia para resolver el problema) Desde $\sqrt{a^2+b^2}$ es, por definición, no negativo, tenemos
$$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt[3]{a^3+b^3} \qquad\text{iff}\qquad \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^6=\left(\sqrt[3]{a^3+b^3}\right)^6.$$
Equivalentemente, queremos encontrar las soluciones de
$$(a^2+b^2)^3=(a^3+b^3)^2.$$
en la no-cero de reales. Expanda. Tenemos
$$a^6 +3a^4b^2+3a^2b^4+b^6=a^6+2a^3b^3+b^6,$$
que es equivalente a
$$3a^4b^2+3a^2b^4=2a^3b^3.$$
Ya estamos buscando soluciones donde no $a$ ni $b$ es igual a $0$, estamos buscando para los no-cero soluciones reales de
$$3a^2+3b^2=2ab.$$
Esta ecuación no tiene distinto de cero soluciones reales. Para completar el cuadrado obtenemos
$$a^2+b^2-\frac{2ab}{3}=\left(a-\frac{b}{3}\right)^2+\frac{8b^2}{9}.$$
En orden para el lado derecho a ser $0$, ambos términos deben ser $0$. En particular, $b$ debe $0$, y por lo tanto así debe de $a$.
Comentario: Usted puede encontrar la siguiente relacionados idea interesante. Deje $p>1$, y deje $t$ ser positivo. Vamos a probar que
$$1+t> (1+t^p)^{1/p}. \qquad\qquad(\ast)$$
Deje $f(t)=1+t -(1+t^p)^{1/p}$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$. Por lo que es suficiente para mostrar que para los positivos $t$, $f(t)$ es una función creciente. Para ello, utilizamos la derivada:
$$f'(t)=1 -\frac{t^{p-1}}{(1+t^p)^{(p-1)/p}}.$$
Positivo $t$, $f'(t)$ es positivo, ya que $(1+t^p)^{(p-1)/p}>(t^p)^{(p-1)/p}=t^{p-1}$. Esto completa la prueba de $(\ast)$.
Para aplicar $(\ast)$ a nuestro problema, observar que una solución de nuestra ecuación positivos $a$ los rendimientos de una solución de $(1+(b/a)^2)^{1/2}=(1+(b/a)^3)^{1/3}$. Es fácil comprobar que $b/a$ no puede ser negativo. Ahora vamos a $t=(b/a)^2$. Obtenemos la ecuación de $1+t=(1+t^{3/2})^{2/3}$, lo que, por $(\ast)$, no pueden mantenerse positivo $t$.
Hemos reducido el problema a una variable con el fin de utilizar herramientas conocidas. Pero hay importantes generalizaciones a diversas variables.
