Para obtener la fórmula de adición de $\tan (x)$ a través de métodos analíticos

Question

Suponga que sólo conocemos a $\tan (0)=0$ y teniendo en cuenta también la relación $\tan'(x)=1+\tan^2(x)$ $\tan (x)$ y no conocemos otro $\tan (x)$ relaciones de la trigonometría.

¿Cómo puedo obtener el additon fórmula $$ \tan (x+h)=\frac{\tan(x)+\tan(h)}{1-\tan(x)\tan(h)}$$ via using the differential equation ($\tan'(x)=1+\tan^2(x)$) y métodos de análisis ? (sin el uso de la geometría)

Podría usted por favor me proporcione una manera fácil de obtener, además de la fórmula de $\tan (x+h)$ ?

Mi intento:

$$\tan'(x)=1+\tan^2(x)$$

$$\int \frac{d\tan(x)}{1+\tan^2(x)}=\int dx$$ $$\tan(x)- \frac{\tan^3(x)}{3}+ \frac{\tan^5(x)}{5}+....=x$$

$$\tan(h)- \frac{\tan^3(h)}{3}+ \frac{\tan^5(h)}{5}+....=h$$

$$+$$

$$\tan(x)+\tan(h)- (\frac{\tan^3(x)}{3}+\frac{\tan^3(h)}{3})+ (\frac{\tan^5(x)}{5}+\frac{\tan^5(h)}{5})+....=x+h$$

$$\tan(x+h)- \frac{\tan^3(x+h)}{3}+ \frac{\tan^5(x+h)}{5}+....=x+h$$

$$\tan(x+h)- \frac{\tan^3(x+h)}{3}+ \frac{\tan^5(x+h)}{5}+....=\tan(x)+\tan(h)- (\frac{\tan^3(x)}{3}+\frac{\tan^3(h)}{3})+ (\frac{\tan^5(x)}{5}+\frac{\tan^5(h)}{5})+....=x+h$$

Vamos a definir que $\tan(x+h)=\tan(x)+\tan(h)+P(x,h)$

$$(\tan(x)+\tan(h)+P(x,h))- \frac{(\tan(x)+\tan(h)+P(x,h))^3}{3}+ \frac{(\tan(x)+\tan(h)+P(x,h))^5}{5}+....=\tan(x)+\tan(h)- (\frac{\tan^3(x)}{3}+\frac{\tan^3(h)}{3})+ (\frac{\tan^5(x)}{5}+\frac{\tan^5(h)}{5})+....$$

$$P(x,h)- \frac{(\tan(x)+\tan(h))^3+ 3 (\tan(x)+\tan(h))^2 P(x,h)+3 (\tan(x)+\tan(h)) P(x,h)^2+P(x,h)^3}{3}+ \frac{(\tan(x)+\tan(h)+P(x,h))^5}{5}+....=- (\frac{\tan^3(x)}{3}+\frac{\tan^3(h)}{3})+ (\frac{\tan^5(x)}{5}+\frac{\tan^5(h)}{5})+....$$

Vamos a definir que $$P(x,h)= \tan(x)\tan(h)(\tan(x)+\tan(h))+G(x,h) $$

así tenemos $\tan(x+h)=\tan(x)+\tan(h)+\tan(x)\tan(h)(\tan(x)+\tan(h))+G(x,h)$

Sé que podemos encontrar la solución en mi método, pero tantos cálculos son necesarios en el método. Es muy, muy largo camino.

Y por último tengo que conseguir ese $$ \tan (x+h)=\frac{\tan(x)+\tan(h)}{1-\tan(x)\tan(h)}=(\tan(x)+\tan(h))(1-\tan(x)\tan(h))^{-1}=(\tan(x)+\tan(h))(1+\tan(x)\tan(h)+\tan^2(x)\tan^2(h)+......)$$

Nota:trato de conseguir, además de las fórmulas de las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales.

Deseo encontrar un método para obtener una forma cerrada, además de las fórmulas para el problema, como se muestra a continuación.

$U(0)=0$ y teniendo en cuenta también la relación $U'(x)=1+U^n(x)$ donde $n>2$

Muchas gracias por las respuestas

Answer 1

Aquí está mi planteamiento:

Vamos $$ \arctan(x) := \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} $$

y $\tan(x)$ se define como la inversa de a $\arctan(x)$, por lo que el $\tan(0) = 0$.

Considere la ecuación diferencial $$ \frac{d x}{1+x^2} + \frac{dy}{1+y^2} = 0 \etiqueta{DE}, $$ una solución es $$ \arctan x + \arctan y = c, $$ pero la ecuación tiene también la solución $$ \frac{x + y}{1 - x, y} = C. $$ Puesto que la ecuación diferencial tiene una clara solución, las dos soluciones deben estar relacionadas entre sí de una manera definitiva. Esta relación se expresa por la ecuación $$ C = f(c) $$ Ahora, vamos a $$ x = \bronceado u, \quad y = \bronceado v, $$ entonces \begin{align} u + v &= c \\ \\ \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v} &= f(c) = f(u +v) \end{align}

Deje $v = 0$, luego $$ \tan u = f(u) $$ y por lo tanto $$ \color{blue}{\frac{\tan u + \bronceado v}{1 - \bronceado u \bronceado v} = \tan(u + v).} $$

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La construcción de la segunda solución

Deje $x = \tan u$$y = \tan v$. Por definición $$ \frac{d x}{d} = 1 + x^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2 x}{d^2} = 2x(1+x^2). $$

Del mismo modo $$ \frac{d y}{d u} = -\frac{d y}{d v} = -(1+y^2), \mbox{ y } \frac{d^2 y}{d^2} = \frac{d^2 y}{d v^2} = 2y(1+y^2) $$

a partir de la cual se deduce que $$ x \frac{d^2 y}{d^2} - y \frac{d^2 x}{d^2} = 2xy(y^2 - x^2) $$ y $$ x^2\left(\frac{d y}{d}\right)^2 - y^2 \left(\frac{d x}{d}\right)^2 = (x^2 - y^2)(1 - x^2 y^2) $$

Por lo tanto $$ \frac{x \frac{d^2 y}{d^2} - y \frac{d^2 x}{d^2}}{x \frac{d y}{d} - y \frac{d x}{d}} = - \left(x \frac{d y}{d} + y \frac{d x}{d}\right) \frac{2 x y}{1-x^2y^2} $$

Esta ecuación es inmediatamente integrable; la solución es

$$ \log\left(x \frac{d y}{d} - y \frac{d x}{d}\right) = \mbox{const.} + \log(1 - x^2 y^2) $$

o $$ x \frac{d y}{d v} + y \frac{d x}{d}, C = (1 - x^2 y^2). $$

Con esta información, podemos ver que $$ \Phi(x,y) = \frac{x(1+y^2) + y(1+x^2)}{1 - x^2 y^2} = \frac{x + y}{1 - x, y} = C $$ es también una solución de (DE).

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Otros Ejemplos

• $\color{green}{\sin(x)}$

Deje $y' = \sqrt{1-y^2}$. Si tenemos en cuenta la (DE) $$ \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{d y}{\sqrt{1-y^2}} = 0 $$ y definir $$ \arcsin(x) = \int_0^x \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}dt $$ donde $\sin(x)$ se define como la inversa de a $\arcsin(x)$, por lo que el $\sin(0) = 0$, e $\cos(x)$ se define como $\sqrt{1-\sin^2 (x)}$, con la condición de que $\cos(0) = 1$.

Una solución para la (DE) es $$ \arcsin x + \arcsin y = c. $$

Usando el mismo método que con $\tan(x)$, se puede construir una segunda solución:

Vamos $x = \sin u$, $y = \sin v$, por definición $$ \frac{d x}{d} = \sqrt{1-x^2}, \qquad \frac{d^2 x}{d^2} = -x $$ Del mismo modo $$ \frac{d y}{d u} = -\frac{d y}{d u} = -\sqrt{1-y^2}, \qquad \frac{d^2 y}{d^2} = -y $$ de la que sigue $$ x \frac{d^2 y}{d^2} - y \frac{d^2 x}{d^2} = 0 $$

Por lo tanto $$ \frac{x \frac{d^2 y}{d^2} - y \frac{d^2 x}{d^2}}{x \frac{d y}{d} - y \frac{d x}{d}} = 0 $$ La integración de $$ x \frac{d y}{d v} + y \frac{d x}{d} = C $$ y otra solución de la (DE) es $$ x\sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = C $$

Recapitulando:

La (DE) tiene dos soluciones $$ \arcsin x + \arcsin y = c, $$ $$ x\sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} = C $$ Como con $\tan(x)$, la (DE) tiene una sola solución, y las dos soluciones deben estar relacionadas entre sí de un modo definitivo $f(c) =C$.

Deje $x = \sin u$$y = \sin v$, luego $$ u + v = c $$ $$ \pecado u \cos v + \sin v \cos u = f(c) = f(u+v) $$ Establecimiento $v = 0$ implica $f(u) = \sin u$, por lo que $$ \color{blue}{\pecado u \cos v + \sin v \cos u = \sin(u +v)} $$

• $\color{green}{\mbox{sn}(x)}$

Deje $y' = (1-y^2)^{\frac{1}{2}}(1-k^2y^2)^{\frac{1}{2}}$. La (DE) $$ \frac{dx}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(1-k^2x^2)^{\frac{1}{2}}} +\frac{dy}{(1-y^2)^{\frac{1}{2}}(1-k^2y^2)^{\frac{1}{2}}} = 0 $$ tiene las soluciones (utilizando la misma técnica) $$ \mbox{argsn } x + \mbox{argsn } y = c $$ $$ x \frac{d y}{d v} + y \frac{d x}{d}, C = (1-k^2 x^2 y^2) $$ Vamos $x = \mbox{sn }u$, $y = \mbox{sn }v$, entonces $$ \color{blue}{\mbox{sn}(u+v) = \frac{\mbox{sn }u \,\mbox{sn}'v + \mbox{sn }v \,\mbox{sn}'u}{1-k^2 \mbox{sn}^2u \,\mbox{sn}^2}} $$

• $\color{green}{\wp(x)}$

Deje $y' = \sqrt{4x^3-g_2x-g_3}$. En este caso, la (DE) es de la forma $$ \frac{dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}} + \frac{dy}{\sqrt{4y^3-g_2y-g_3}} $$ y podemos derivar la adición de fórmula $$ \color{blue}{\wp(u + v) = - \wp(u) - \wp(v) + \frac{1}{4} \left\{\frac{\wp'(u)-\wp'(v)}{\wp(u)-\wp(v)} \right\}^2} $$