¿Alguien puede explicar intuitivamente lo que es la integral de convolución?

Question

Estoy teniendo dificultades para comprender cómo funciona la integral de convolución (por transformadas de Laplace de dos funciones multiplicadas juntos) y estaba esperando que alguien podría aclarar el tema o enlazar a fuentes que explican fácilmente. Nota: no entiendo la notación matemática muy bien, para que una explicación agua haría bien. $$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\ \mathrm{d}\tau$$

Esto es lo que ha escrito mi libro de texto. Qué los símbolos t-como minúsculas representan (no he visto antes).

Answer 1

Intuitivamente hablando, cuando se tienen dos señales/o funciones de $f$$g$. Tiempo reverese una de las señales, no importa que uno, y cambiarlo por un valor de $t$ luego simplemente se suma el área debajo de la intersección.

Si usted se considera una función dicen función de $x$, la inversión de tiempo significa la inserción de $-x$ donde usted ve $x$ en esta función.

Ejemplo:

Pregunta1: Supongamos que usted tiene una función de $f(x)$ $1$ si $x\in[0,1]$, e $0$ en otro sitio, ¿cómo debe trazar $f(-x)$?

Pregunta2: Supongamos que usted tiene $g(x)=f(x)$ es allí cualquier área de intersección entre el$f(x)$$g(x)$?

Pregunta3: Ahora cambio $g(-x)$$0.5$, que es encontrar a $g(-x+0.5)$. ¿Cómo se ve como cuando se hace una gráfica?

Question4: ¿de Dónde viene la intersección región se encuentran en este caso $x\in?$ ¿cuál es el son de la intersección región? Respuesta: a continuación de la zona blanca$=0.5$ $x=0.5$ cambio.

Question5: Si selecciona el cambio de parámetro no $0.5$, pero todos los reales en $[0,2]$ ¿qué función debe llegar a la salida? compruebe $x=0.5$ e ver $f*g(x)$ $0.5$ como se encuentra en el paso 4

EDIT: definir la integral de convolución en $[0,t]$ delimitada por las señales. La integral de los límites dependen del lugar donde la señal no es cero.

Si se tienen dos señales como usted sugirió $f(t)=e^{at}$$g(t)=e^{bt}$, entonces la primera pregunta: ¿cuál es la relación entre el$a$$b$? son positivo? donde es la función definida? Por ejemplo, cuando se $a$ $b$ son algunos de los términos positivos, entonces tenemos la siguiente integral

$$h(t)=\int f(\tau)g(t-\tau)d\tau= \int e^{a\tau}e^{b(t-\tau)}d\tau=e^{bt}\int e^{(a-b)\tau}d\tau=\Bigg]_{\tau\in\Omega}\frac{e^{(a-b)\tau}}{a-b}$$

claramente $\Omega=\mathbb{R}$ no es posible debido a que la integral no converge.

Answer 2

Creo que la convolución de las funciones que tiene más sentido cuando se ve aplicada en la teoría de la probabilidad.

Deje que X y y dos variables aleatorias y f(X) y g(Y) las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias.

A continuación, la distribución de la suma de dos variables aleatorias:

$$ (f*g)(t) = \int^t_0 f (\tau)g(\tau - t )d\tau $$

¿Por qué es esto? Volvamos a visualizar el simple caso de balanceo dados. y X ser el resultado de la primera tirada y y será el resultado de la segunda tirada. ¿Cuál es la distribución de la suma?

Desde nuestro distribuciones discretas, $$ (f*g)(t) = \sum^t_{i=0} f(t)g(i-t) \quad t\in[2,12] $$ Básicamente, esto se traduce en, suma de todas las probabilidades que tiene esta probabilidad.

es decir, $$(f*g)(4)= \sum^4_{i=0} f(t)g(i-t) =f(1)g(3) + f(2)g(2)+ f(3)g(1) = 1/12 $$

Cual es la respuesta que esperamos. También podemos mirar la cuestión desde una física más punto de vista en que es un tiempo invertido señales, pero esto me parece mucho más intuitivo.

Answer 3

Considerar el % de secuencias $x_0, x_1, \dotsc$y $y_0, y_1, \dotsc$.

Ahora, $$ \left (\sum_{j=0}^n x_j \right) \left (\sum_{j=0}^n y_j \right) = \sum_{z=0}^n z_j, $ donde $ z_j = \sum_{k=0}^j x_k y_ {j-k}. $$

Answer 4

Si desea una visión amplia, la convolución "mezclas" de dos funciones juntas y es la expresión de la cantidad de superposición de una función como la que se desplaza sobre otro. La toma de convolución de dos funciones (y uno de ellos puede ser un núcleo). La escritura de uno de ellos como una traducción, multiplicar juntos y te dan una nueva función que toma las mejores propiedades de ambas funciones. Si usted toma un kernel (como he mencionado anteriormente) la nueva función puede tener propiedades de ese kernel. Podría ser un buen ejemplo de algo estoy interesado en: Littlewood-Paley teoría. A la hora de embarcarse en varios LP construcciones, que se termina con un LP de los operadores

\begin{equation*} \Delta_j(f)=\Delta^{\Psi}_{j}=\Psi_{2^{-j}}\ast f. \end{ecuación*}

Estos han sido definidos por la construcción de una partición de la unidad (donde estamos construyendo resultados de forma local y se extiende a nivel global) donde $\Psi$ es una radial Schwartz de la función en $\mathbb{R}^n$ con ciertas propiedades de soporte.

Mirando la convolución, $\Delta_j(f)$ tiene propiedades que $f$ tenía como apoyo propiedades pasaron a de $\Psi.$