Cualquier ideal de izquierda de $M_n(\mathbb{F})$ es principal

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Dejemos que $A$ sea el anillo de $n \times n$ matrices sobre un campo $\mathbb{F}$ .

(a) Demuestre que para cualquier subespacio $V$ de $\mathbb{F}^n$ el conjunto $I_V$ de matrices cuyo núcleo contiene $V$ es un ideal de la izquierda de $A$ .

(b) Demuestre que todo ideal de la izquierda de $A$ es principal.

He hecho parte $a)$ pero me gustaría saber si puedes probar $b)$ directamente de $a)$ . Me parece que dado el ideal de la izquierda $J$ debería darse el caso de que si $V$ es la intersección de los núcleos de las matrices en $J$ entonces deberíamos tener $J = I_V$ . Puedo demostrar que $I_V$ es principal, y ciertamente $J$ está contenida en $I_V$ pero no puedo mostrar la otra dirección.

Creo que puedes probar $b)$ considerando el subespacio $W$ de $\mathbb{F}^n$ formado por las filas de elementos de $J$ que es de dimensión $k \leq n$ decir, y luego mostrar que $J$ es generada por cualquier matriz cuya primera $k$ filas son algunas bases para $W$ y cuyas filas finales son todas $0$ . Pero parece que deberíamos ser capaces de hacer el problema simplemente usando $a)$ y me gustaría saber cómo hacerlo.

Answer 1

El resultado principal es el siguiente:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial finitamente dimensional. Entonces todo ideal de la izquierda en $\operatorname{End}(V)$ es de la forma $I_W \colon =\{T \in \operatorname{End}(V) \mid T = 0 \textrm{ on } W\}$ .

En efecto, dejemos que $I$ sea un ideal de la izquierda de $\operatorname{End}(V)$ y $$W = Z(I) \colon= \{ w \in V \mid T(w) = 0 \textrm{ for all } T \in I\}.$$

Demostremos que $I = I(W)$ o, en otras palabras $$I = I(Z(I)).$$ para cada ideal de izquierda $I$ . Obsérvese que por definición $$Z(I) = \bigcap_{T \in I} \ker(T).$$ Desde $V$ es un espacio de dimensión finita, existen muchos $T_1$ , $\ldots $ , $T_m \in I$ para que $$W=Z(I) = \bigcap_{i=1}^m\ker(T_i).$$ Considere el operador $\tilde T= (T_1, \ldots, T_m)$ de $V$ a $V^m$ con el núcleo $\bigcap_{i=1}^m\ker(T_i) = W$ .

Dejemos ahora $S \in\operatorname{End}(V)$ es decir $0$ en $W$ . Se deduce (por un resultado de universalidad estándar) que existe $L:\operatorname{Im}(\tilde T) \to V$ para que $$S = L \circ \tilde T.$$ Ahora $L$ puede ampliarse a todo el $V^n$ . Conocemos la forma de los mapas lineales por $V^n$ a $V$ . Están dadas por $L = (L_1, \ldots , L_m)$ con $L_i \in\operatorname{End}(V)$ . Por lo tanto, tenemos $$S = \sum_{i=1}^m L_i T_i,$$ así que $S \in I$ .

${\bf Added.}$ Deje de nuevo $I$ sea un ideal de izquierda, $W = Z(I)$ . Sabemos por lo anterior que $I = I_{W}$ . De la prueba anterior vemos que cualquier $T_i$ con $\cap_{i=1}^m\ker(T_i) = W$ son un sistema de generadores. Así que toma $T$ para que $\ker T= W$ . Entonces $T \in I$ y además, $T$ genera $I$ . Por lo tanto, $I$ es un ideal principal.

Obs: Del mismo modo (por dualidad digamos) se demuestra que todo ideal derecho $J$ de $\operatorname{End}(V)$ también es de la forma $$J = J_W = \{ T \in \operatorname{End}(V) \mid\operatorname{Im} T \subset W\}$$ Además, cualquier familia $T_i$ tal que $\sum_{i=1}^m \operatorname{Im} T_i = \sum_{T \in J} \operatorname{Im} T$ genera $J$ . Del mismo modo, cualquier ideal de derecho es principal.

Answer 2

Tenga en cuenta que $I_V$ es el ideal principal de la izquierda de $M_n(\mathbb{F})$ cuyo generador puede tomarse como cualquier mapa lineal $T \colon \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n$ con $\ker(T) = V$ . Para ver esto, elija una base $(w_1, \ldots, w_n)$ de $\mathbb{F}^n$ tal que $(w_1, \ldots, w_k)$ es una base de $\ker(T) = V$ . Definir $f_i = T(w_i)$ para $k + 1 \leq i \leq n$ y completarlos a una base $(f_1, \ldots, f_n)$ de $\mathbb{F}^n$ .

Dejemos que $S \colon \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n$ sea un mapa lineal con $V \subseteq \ker(S)$ . Necesitamos encontrar un mapa lineal $P \colon \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n$ tal que $PT = S$ . Definir $P$ exigiendo que

$$ P(f_i) = \begin{cases} 0 & 1 \leq i \leq k, \\ S(w_i) & k + 1 \leq i \leq n. \end{cases}$$

Entonces

$$ P(T(w_i)) = \begin{cases} P(0) = 0 = S(w_i) & 1 \leq i \leq k, \\ P(f_i) = S(w_i) & k + 1 \leq i \leq n \end{cases} $$

que muestra que $PT = S$ .

Dado cualquier ideal de lado izquierdo $J$ , dejemos que $V = \cap_{T \in J} \ker(T)$ . Nótese que debe existir un mapa lineal $T \in J$ con $\ker(T) = V$ . Desde $J$ es un ideal de lado izquierdo, tenemos

$$ (M_n(\mathbb{F}))T = I_V \subseteq J \subseteq I_V $$

que muestra que $J = I_V$ .

Answer 3

Una pista:

1. Dado $A,B\in\operatorname{End}(V)$ donde $V$ es una dimensión finita $\mathbb F$ -v.s. Entonces $\exists T\in\operatorname{End}(V)\colon B=T\circ A\iff\ker A\subseteq\ker B$ .
2. Dado un número finito de subespacios $V_j\subseteq V,j=1,\dotsc,n$ tenemos $\sum_{j=1}^nI(V_j)=I(\bigcap_{j=1}^nV_j)$ , donde $I(W)=\{\,T\in\operatorname{End}(V)\,\vert\,W\subseteq\ker T\,\}$ .