Noetheriano integral dominio tales que $m/m^2$ es un espacio unidimensional del vector $A/m$

Question

Estoy teniendo problemas para hacer la siguiente pregunta (estoy estudiando para quals, no es la tarea)

Si $A$ es un noetherian integral de dominio tal que para cada maximal $m\subset A$, el cociente $m/m^2$ es un one-dimensional espacio vectorial sobre el campo $A/m$

(a) Probar cada distinto de cero el primer ideal es máxima.

(b) Demostrar $A$ es integralmente cerrado.

Hay una pista que dice que uno debe localizar en la máxima ideales. Mi problema es que no estoy muy seguro de cómo utilizar el $m/m^2$ condición. Una solución o sugerencia en la dirección correcta, utilizando una cantidad mínima de álgebra conmutativa sería muy apreciada (pero claramente una cantidad decente debe ser usado).

Answer 1

Recordar que si $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal de a$A$$A_\mathfrak{m} / \mathfrak{m} A_\mathfrak{m} \simeq A / \mathfrak{m} = k(\mathfrak{m})$$\mathfrak{m} A_\mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 A_\mathfrak{m} \simeq \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2$. La condición implica que $\mathfrak{m} A_\mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 A_\mathfrak{m}$ $k(\mathfrak{m})$- espacio vectorial de dimensión $1$. Desde $A_\mathfrak{m}$ es local, por Nakayama del lema (Matsumura, Teorema 2.3) $\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}$ es un no-cero cíclico $A_\mathfrak{m}$-módulo, es decir, un no-cero principal ideal de $A_\mathfrak{m}$. Ahora $A_\mathfrak{m}$ es un noetherian de dominio con el director de la máxima ideal y $A_\mathfrak{m}$, no es un campo, entonces $A_\mathfrak{m}$ es un DVR (Matsumura, Teorema 11.2).

Hemos demostrado que la $A_\mathfrak{m}$ es un DVR para cada ideal maximal $\mathfrak{m}$$A$. A partir de este punto, es fácil mostrar que $A$ es un dominio de Dedekind.

Answer 2

Se trata de un toque (ya que estás estudiando para un examen de clasificación). Le sugiero leer sobre dominios de Dedekind. Por ejemplo, leer Dummit y de Foote álgebra. En particular, buscar en la sección 16.3 y más concretamente, la equivalencia $(1) \longleftrightarrow (2)$ en el teorema 15.