Existencia de un límite asociado a una secuencia casi subadditive

Question

Quiero demostrar que una secuencia de vidas en un intervalo específico; Demostrar que vive en un intervalo más grande, pero no en el que deseo.

Que $ a_n $ una secuencia tal que para cualquier n, m
$$a_n + a_m -1 < a_{n+m} < a_n + a_m +1 $ $ Demostrar que converge la secuencia $ (a_n) / n $ (a $L$) y luego demostrar que a_n $$ \in \left(nl-1,nl+1 \right) $$

Probé todo, pero demostró que se encuentra en $$ \left (nL - 2, nL + 2 \right) $$ me can´t lo limita más.

Answer 1

Hay dos partes de la historia aquí. Argumentos detallados y variantes que se pueden encontrar en Pólya-Szegő, Problemas y teoremas en el análisis, Volumen I: Series, cálculo integral, la teoría de funciones, página 198 y 199 (Ejercicios 98 y 99 de la parte I)

Supongamos que la secuencia de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de los números reales es subadditive: $x_{m+n} \leq x_m + x_n$. Considere la posibilidad de $L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{x_n}{n}$. Cualquiera de las $L = - \infty$ $\dfrac{a_n}{n}$ diverge correctamente a $-\infty$ o $$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = \inf_{n \in \mathbb{N}} \frac{x_n}{n} = L,$$ y, en particular, el límite existe.

Deje $L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{x_n}{n}$. El caso de $L = - \infty$ es fácil, por lo que asumen $L \gt -\infty$. Para $\varepsilon \gt 0$ hay un $m$ tal que $\frac{x_m}{m} \lt L + \varepsilon$. Escrito $n = km + r$ $0 \leq r \lt m$ tenemos $$L \leq \frac{x_{n}}{n} \leq \frac{k \cdot x_m + x_r}{km+r} \leq \frac{x_m}{m}+ \frac{x_r}{n} \leq \frac{x_m}{m} + \frac{C}{n}$$ con $C = \max{\{x_0,\ldots,x_{m-1}\}}.$ $n \geq C/\varepsilon$ por lo tanto tenemos a $\displaystyle L \leq \frac{x_n}{n} \leq \frac{x_m}{m} + \varepsilon \leq L+2\varepsilon$, por lo que el límite existe y es igual a la infimum de la secuencia.

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La segunda parte es:

Supongamos que la secuencia de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ satisface $-1 + a_m + a_n \leq a_{m+n} \leq 1 + a_m + a_n$. A continuación, el límite $L = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{n}$ existe y $L-1 \leq \frac{a_{n}}{n} \leq L+1$.

Tenga en cuenta que la secuencia de $b_n = 1+a_n$ es subadditive: $b_{m+n} \leq b_m + b_n$ por lo tanto podemos aplicar la primera parte a ella y saber que $$-\infty \leq L = \inf_{n \in \mathbb{N}} \frac{1+a_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+a_{n}}{n} \lt \infty.$$ Del mismo modo, $c_n = 1-a_n$ es subadditive y por lo tanto $$- \infty \leq -L = \inf_{n \in \mathbb{N}} \frac{1-a_n}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1-a_n}{n} \lt \infty.$$ Por lo tanto, $L$ es un número real y $L \leq \dfrac{1+a_n}{n}$ junto con $-L \leq \dfrac{1-a_n}{n}$ los rendimientos de la deseada estimaciones de $nL - 1 \leq a_n \leq nL+1$ donde $L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$ también follollows de las anteriores.

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Estos lemas tienen muchas aplicaciones. Una sencilla variante de esto es que una submultiplicative secuencia de la no-los números negativos, que es $a_{n+m} \leq a_n a_m$ tiene la propiedad de que $a_{n}^{1/n}$ converge. Esto puede ser usado para la espectral de radio fórmula en el análisis funcional.

Recientemente, cuasi-subadditive secuencias han recibido un poco de atención en la apariencia de cuasi-morfismos con importantes aplicaciones en teoría de grupos, sistemas dinámicos, geometría simpléctica, y así sucesivamente.

Una hermosa aplicación elemental es Norbert Un'Campo del modelo de los números reales a través de casi aditivo mapas de $\varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ (él los llama pendientes), que es de las funciones de $\varphi$ satisfacción $$\sup\limits_{m,n \in \mathbb{Z}}{|\varphi(m+n) - \varphi(m) - \varphi(n)|} \lt \infty$$ modulo una simple relación de equivalencia. La idea básica aquí es que cualquier número real $r$ de los rendimientos de un mapa mediante el establecimiento $\phi(n) = \lfloor rn \rfloor$. El papel es muy recomendable, ya que contiene muy pocas ingenioso y construcciones de interés histórico comentarios.