En un puñado de ejemplos, me he dado cuenta de que el endomorfismo anillo de $\mathrm{End}(R,+,0)$ es isomorfo al anillo de $R$ sí. Por ejemplo, $\mathrm{End}(\mathbb{Z},+,0)\cong\mathbb{Z}$$\mathrm{End}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,0)\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Esto es cierto en general, o hay ejemplos de anillos que no son isomorfos a la endomorfismo anillo como el de arriba? Si no, es por lo menos siempre la verdad para $R$ un campo? Gracias.
La afirmación correcta es que un anillo de $R$ es, precisamente, el endomorfismo anillo de $R$ como un derecho $R$-módulo ("del teorema de Cayley para los anillos"). Al $R$ es cualquier cociente de $\mathbb{Z}$, una de morfismos de derecho $R$-módulos es sólo una de morfismos de abelian grupos, que da los ejemplos que usted describe.
En general, la preservación de derecho $R$-estructura del módulo es más fuerte. Por ejemplo, si $R = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, entonces la endomorphisms de la aditivo grupo de $R$ se dan por $2 \times 2$ entero matrices. Para un campo contraejemplo, si $R = \mathbb{R}$$R$, como un grupo abelian, es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ de innumerables dimensión y, por tanto, se admite una enorme endomorfismo anillo. (Para un simple campo de contraejemplo, si $R = \mathbb{Q}(i)$$R$, como un grupo abelian, es $\mathbb{Q}^2$, por lo que su endomorfismo anillo es $2 \times 2$ racional de las matrices.)
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