¿Existe una definición "natural" / "categórica" de la "paridad" de una permutación?

Question

Dada una permutación $\sigma$ en $n$ elementos (es decir $\sigma \in S_n$ ), existe una noción de "paridad" (o "signo" o "firma") de $\sigma$ que puede definirse de varias formas equivalentes (véase aquí ). Esto produce un homomorfismo $S_n \to \{\pm 1\}$ .

Hace tiempo que conozco las distintas definiciones, la demostración de sus equivalencias y las distintas aplicaciones de las mismas y, sin embargo, parece que falta algo. No puedo convencerme de que ninguna de esas definiciones sea realmente "natural". Por supuesto, "natural" es algo bastante subjetivo, pero para mí, al menos, tiene un significado cercano a "categórico". Por ejemplo, una presentación "natural" de la definición (y de las propiedades básicas) de la suma/multiplicación de los números naturales, puede lograrse considerando la categoría de conjuntos finitos, donde estas operaciones son suma/producto categórico.

Desde $S_n$ es el grupo de automorfismo de un conjunto con $n$ elementos, diría que la categorización (¿horizontal?) de la misma es la groupoid de todos los conjuntos con $n$ -elementos. Podría decirse que es un objeto más "natural". Por supuesto, este groupoide es equivalente a $S_n$ así que es sólo una cuestión de perspectiva. Ahora, podemos definir el groupoide cotizante para el que los hom-sets son los dos conjuntos de elementos de las clases de equivalencia de los isomorfismos, donde dos son equivalentes si el cociente es una permutación par. Esto es una trampa, por supuesto. La pregunta es, ¿podemos definir este cociente de forma "natural"? Me parece muy sorprendente que esta clase de estructura asociada a los conjuntos finitos simples, esté tan bien escondida.

He oído que la teoría K de los conjuntos finitos codifica alguna información de este tipo. Si es así, me encantaría saber más al respecto.

Como nota final, una famosa aplicación de la noción de paridad de una permutación es la prueba de la imposibilidad de la 14-15 rompecabezas . La prueba es hermosa, pero aplica técnicas de teoría de grupos a algo que se ve de forma más natural como un grupito. Puede que esto no tenga nada que ver con la cuestión principal, pero parece que una definición más natural/grupoidal de la paridad podría ser aplicable también a esta situación.

Answer 1

Ahora, podemos definir el groupoide cotizante para el que los conjuntos hom son los dos conjuntos de elementos de las clases de equivalencia de los isomorfismos, donde dos son equivalentes si el cociente es una permutación par. Esto es una trampa, por supuesto. La pregunta es, ¿podemos definir este cociente de forma "natural"?

Fijar un campo $k$ (de $\operatorname{char}\ne2$ ). Existe un functor $\det\colon S\mapsto\Lambda^{top}(k[S])$ de nuestro groupoide a la categoría de espacios vectoriales. Ahora podemos definir el groupoide cociente ( $f\sim g\iff\det f=\det g$ ).

Por supuesto, se puede debatir si esta definición es lo suficientemente natural. Al menos es natural en el sentido de que no hay que identificar un conjunto con $\{1,\ldots,n\}$ etc.

P.D. El álgebra exterior se puede definir sin permutaciones (como el cociente del álgebra libre por relaciones $v\wedge v=0$ ).

Answer 2

Este es el mapa de abelianización $S_n \to S_n/[S_n, S_n]$ . Es universal con respecto a los mapas de $S_n$ a los grupos abelianos.

Answer 3

No estoy seguro de a qué nivel de sofisticación buscas una definición tan "natural", pero un buen candidato es la orientabilidad. Pensando en la permutación como una permutación de vectores en una base de un espacio vectorial de dimensión finita, se puede caracterizar la paridad de la permutación en términos de preservación o inversión de la orientación. La propia orientación puede formalizarse en términos de la haz de determinantes (en este caso sobre un único punto) del espacio vectorial. En concreto, la orientación es un elemento de este haz de líneas, y la permutación induce una acción por $+1$ o por $-1$ en este haz, correspondientes respectivamente a una permutación par o impar.