¿Un sistema cuántico no integrable cuyo límite clásico es integrable?

Question

En esta discusión: http://chat.stackexchange.com/rooms/4243/discussion-between-arnold-neumaier-and-ron-maimon Arnold Neumaier sugirió que podría haber una estrecha relación entre la integrabilidad clásica y la cuántica, mientras que yo creo que hay muchos más sistemas clásicamente integrables que cuánticamente integrables.

La razón es que los sistemas clásicamente integrables son fáciles de inventar: se inventa un número infinito de variables de acción y ángulo, y se cambian las coordenadas canónicas de alguna manera complicada a pares x,p, y se dice que esta versión x-p es el sistema de interés. Pero los sistemas cuánticos no admiten la misma estructura de transformación canónica que los sistemas clásicos, por lo que puede haber sistemas que tengan un límite clásico integrable, pero ningún signo real de integrabilidad fuera del límite clásico.

Pero no conozco ningún ejemplo. La mayoría de las cosas integrables 1+1d son para casos en los que la integrabilidad clásica y la cuántica están unidas, por la razón obvia de que la gente está interesada en encontrar sistemas integrables, no ejemplos en los que no lo son. La razón por la que creo que encontrar un ejemplo no es trivial es porque la integrabilidad clásica garantiza que el movimiento no es clásicamente caótico, y que los estados energéticos cuánticos asintóticos son bastante regulares. Así que no creo que se pueda buscar un contraejemplo en dimensiones finitas, donde todos los estados de energía suficientemente altos son permanentemente semiclásicos.

Pero consideremos una teoría de campos en una red en 2+1 dimensiones (tiempo continuo). El entramado es para que la dinámica pueda ser arbitraria, sin límite continuo, sin renormalización. Incluso si tienes una dinámica clásica integrable para la teoría de campo, la energía puede seguir disipándose en volúmenes mayores (esto no es 1+1 d), y eventualmente el campo clásico será lo suficientemente débil como para que el límite clásico ya no sea válido, y veas los cuantos. Esto permite la posibilidad de que cada estado de energía finita abandone eventualmente el dominio semiclásico, y se convierta en cuántico, y entonces se pierde la integrabilidad.

Entonces, ¿existe una teoría de campo escalar de celosía de 2+1 (o 3+1) dimensiones en la que la dinámica clásica es integrable, pero el sistema mecánico cuántico no lo es?

Al decir que el sistema cuántico no es integrable, quiero decir:

• la matriz S de muchas partículas no se factoriza ni se simplifica de forma significativa (aparte de las débiles relaciones asintóticas que implica tener un límite clásico integrable)
• sólo hay un número finito de corrientes conservadas cuánticamente (pero un número infinito de corrientes conservadas en el límite clásico).

Answer 1

Creo que un conjunto de modelos clásicamente integrables que no son genéricamente integrables cuánticamente son los modelos sigma en espacios simétricos. Para un ejemplo de anomalías del $CP^n$ modelo ver, por ejemplo., este documento

Answer 2

La primera teoría de cuerdas cuantizada es precisamente un ejemplo de ello. Véase el pregunta aquí . La teoría clásica ha n cuerdas no interactivas, cada una de las cuales tiene una dinámica integrable. La teoría cuántica permite que las cuerdas se dividan y se fusionen, por lo que ya no es integrable.

Answer 3

He llegado a un modelo del tipo que quería:

considere una teoría de campo de celosía en 2 dimensiones de espacio y 1 tiempo continuo cuya acción es:

$$ \sum_i {1\over 2} \dot{\phi_i}^2 - \sum_{\langle i,j\rangle} {1\over 2}(\phi_i - \phi_j)^2 $$

Dónde $i$ y $j$ son vecinos de red más cercanos. Se trata de una teoría sin masa en el entramado, y por tanto integrable. El momento canónico es

$$ \Pi_i = \dot{\phi_i}$$

y el hamiltoniano es

$$ H = \sum_i {1\over 2} \Pi_i^2 + \sum_{\langle i,j\rangle} (\phi_i -\phi_j)^2 $$

Los corchetes/comutadores de Poisson son los obvios.

Consideremos el clásico cambio de variables regular invertible

$$ \phi_i = u_i + {\lambda\over 3} u_i^3 $$

Se puede invertir esto para encontrar $u$ en términos de $\phi$ como una serie infinita en $\lambda$ . También tiene una forma cerrada poco luminosa.

Si se realiza este cambio de variables en el hamiltoniano clásico, se obtiene un nuevo momento canónico:

$$ \Pi'_i = \Pi_i (1 + \lambda u_i^2) $$

Se puede comprobar que la forma simpléctica es la suma sobre $i$ de $du_i\wedge d\Pi'_i$ . Este cambio de variables en las ecuaciones de movimiento clásicas da lugar a un hamiltoniano clásico transformado,

$$ H = \sum_i \frac{\Pi'^2_i}{2(1+\lambda u_i^2 )^2}+ \sum_{\langle i,j\rangle} (u_i - u_j + {\lambda\over 3}(u_i^3 - u_j^3))^2$$

que se deriva del modelo sigma como la Lagrangiana clásica transformada que se obtiene sustituyendo $u$ para $\phi$ :

$$ L = \sum_i {1\over 2} \dot{u_i}^2 (1+\lambda u_i^2)^2 - V(u)$$

Dónde $V(u)$ es el segundo término de potencial complicado en el Hamiltoniano. Ahora consideraré esta acción como la definición de un sistema cuántico. El límite clásico es integrable por construcción, por un cambio clásico de variables.

La teoría cuántica se compone de variables $u_i$ en cada sitio de la red, con un momento conjugado $\Pi'_i$ obedeciendo a relaciones de conmutación canónicas con $u$

$$ [\Pi'_i,u_j] = i \delta_{ij}$$

y con un Hamiltoniano cuántico igual a una interpretación apropiada de la expresión clásica anterior:

$$ H = {1\over 2} \sum_i \Pi'_i {1\over(1+\lambda u_i^2)^2} \Pi'_i + V(u) $$

Este es un sistema cuántico bien definido, y la nueva acción no es equivalente cuántica por cambio de variables a la teoría de campo libre. La razón es que para hacer el cambio de variables en la integral de trayectoria correctamente, habría que introducir un factor de medida adicional en cada sitio en el Lagrangiano:

$$ \sum_i \log(1 + \lambda\phi_i^2)$$

Y no he introducido este factor de medida en la nueva acción, por lo que las interacciones son no nulas para las variables cuánticas. Este sistema es una teoría de campo de celosía de 2 dimensiones espaciales de tipo modelo sigma, y no va a tener ninguna propiedad especial de integrabilidad en el dominio cuántico (aparte de las derivadas de la integrabilidad del límite clásico, lo cual no es decir mucho). Así que tendrá una dispersión cuántica salvaje que conspirará para hacer integrable el comportamiento de campo libre en grandes ondas coherentes compuestas por un gran número de excitaciones por longitud de onda, degenerando en un lío aleatorio cuando las ondas se dispersen a una amplitud lo suficientemente baja como para que la aproximación semiclásica no sea buena.