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Usos de lim

Me han estado preguntando si el siguiente límite está siendo utilizado de alguna manera, como una variación de la derivada:

\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} .

Editar: Sé que este límite se define en algunos lugares donde la derivada no está definida, pero nos da algo de información útil.

La pregunta no es si este límite es similar a la derivada, pero si es útil de alguna manera.

Gracias.

23voto

Andrew Puntos 140

La "diferencia simétrica" la forma de la derivada es muy conveniente para los fines de numérico de cálculo; es decir, tenga en cuenta que la diferencia simétrica se puede ampliar de esta manera:

D_h f(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^\prime(x)+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{3!}h^2+\frac{f^{(5)}(x)}{5!}h^4+\dots

y una cosa que debemos notar aquí es que en esta expansión de la serie, sólo que incluso los poderes de h mostrar.

Considere la posibilidad de la expansión correspondiente al h es reducido a la mitad:

D_{h/2} f(x)=\frac{f(x+h/2)-f(x-h/2)}{h}=f^\prime(x)+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{3!}\left(\frac{h}{2}\right)^2+\frac{f^{(5)}(x)}{5!}\left(\frac{h}{2}\right)^4+\dots

Uno podría tomar una particular combinación lineal de este medio-h de expansión y la expansión anterior en h que el término con h^2 ceros:

4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)=3f^\prime(x)-\frac{f^{(5)}(x)}{160}h^4+\dots

y tenemos después de la división por 3:

\frac{4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)}{3}=f^\prime(x)-\frac{f^{(5)}(x)}{480}h^4+\dots

Tenga en cuenta que los términos restantes después de que f^\prime(x) (se supone que) mucho menor que cualquiera de los términos después de que f^\prime(x) en el expansiones D_h f(x) y D_{h/2} f(x). Numéricamente hablando, uno podría obtener un poco más precisa estimación de la derivada mediante la evaluación de la diferencia simétrica en una cierta (bien elegido) el tamaño de paso de h y en la mitad de la h, y el cálculo de la combinación lineal \dfrac{4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)}{3}. (Esto es similar a la deriva la regla de Simpson de la regla trapezoidal). El procedimiento se generaliza, como uno se mantiene la toma de las medidas de las combinaciones lineales de una diferencia simétrica h y la diferencia simétrica a la mitad de h a cero sucesivas potencias de h^2; este es el famoso extrapolación de Richardson.

17voto

bgee Puntos 327

Lema: Dejar que f ser una función convexa en un intervalo abierto I. Para todo $x \in I$, g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} $$ existe y f(y) \geq f(x) + g(x) (y-x) para todo y \in I.

En particular, g es un subderivative de f.

12voto

DanV Puntos 281

\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} &=& \frac12 \lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}h+\frac{f(x)-f(x-h)}h\right) \\ &=& \frac12 (f'(x)+f'(x)) = f'(x) \end{eqnarray*}

Asumiendo, por supuesto que f es derivable en x.

5voto

Did Puntos 1

Este no puede ser utilizado como una definición de la derivada. Primero, el resultado es la mitad de la suma de la izquierda y la derecha derivados en x, cuando estos existen. Segundo, el límite puede ser bien definido, incluso cuando la cara de derivados no existen, por ejemplo, f(x)=|x|^ todo x=0 para valores adecuados de a. De manera más general, el límite de $$ x existe y es de g'(x), tan pronto como f=g+s con g diferenciable en x y s simétrica alrededor de x en el sentido de que s(x+z)=s(x-z) para todo |z| lo suficientemente pequeño por lo tanto, esta noción puede ser utilizado para deshacerse de los simétrica pero se portó mal partes de f, alrededor de x.

3voto

muerte Puntos 1474

Si f es permitido para ser discontinua tenemos este ejemplo:

x \in \mathbb{Q} \implica \lim_{h \to 0} \frac{1_\mathbb{Q}(x+h) - 1_\mathbb{Q}(x-h)}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0.

Que no parece particularmente útil para mí.

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