Usos de $\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Question

Me han estado preguntando si el siguiente límite está siendo utilizado de alguna manera, como una variación de la derivada:

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} .$$

Editar: Sé que este límite se define en algunos lugares donde la derivada no está definida, pero nos da algo de información útil.

La pregunta no es si este límite es similar a la derivada, pero si es útil de alguna manera.

Gracias.

Answer 1

La "diferencia simétrica" la forma de la derivada es muy conveniente para los fines de numérico de cálculo; es decir, tenga en cuenta que la diferencia simétrica se puede ampliar de esta manera:

$$D_h f(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^\prime(x)+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{3!}h^2+\frac{f^{(5)}(x)}{5!}h^4+\dots$$

y una cosa que debemos notar aquí es que en esta expansión de la serie, sólo que incluso los poderes de $h$ mostrar.

Considere la posibilidad de la expansión correspondiente al $h$ es reducido a la mitad:

$$D_{h/2} f(x)=\frac{f(x+h/2)-f(x-h/2)}{h}=f^\prime(x)+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{3!}\left(\frac{h}{2}\right)^2+\frac{f^{(5)}(x)}{5!}\left(\frac{h}{2}\right)^4+\dots$$

Uno podría tomar una particular combinación lineal de este medio-$h$ de expansión y la expansión anterior en $h$ que el término con $h^2$ ceros:

$$4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)=3f^\prime(x)-\frac{f^{(5)}(x)}{160}h^4+\dots$$

y tenemos después de la división por $3$:

$$\frac{4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)}{3}=f^\prime(x)-\frac{f^{(5)}(x)}{480}h^4+\dots$$

Tenga en cuenta que los términos restantes después de que $f^\prime(x)$ (se supone que) mucho menor que cualquiera de los términos después de que $f^\prime(x)$ en el expansiones $D_h f(x)$ y $D_{h/2} f(x)$. Numéricamente hablando, uno podría obtener un poco más precisa estimación de la derivada mediante la evaluación de la diferencia simétrica en una cierta (bien elegido) el tamaño de paso de $h$ y en la mitad de la $h$, y el cálculo de la combinación lineal $\dfrac{4D_{h/2} f(x)-D_h f(x)}{3}$. (Esto es similar a la deriva la regla de Simpson de la regla trapezoidal). El procedimiento se generaliza, como uno se mantiene la toma de las medidas de las combinaciones lineales de una diferencia simétrica $h$ y la diferencia simétrica a la mitad de $h$ a cero sucesivas potencias de $h^2$; este es el famoso extrapolación de Richardson.

Answer 2

Lema: Dejar que $f$ ser una función convexa en un intervalo abierto I$$. Para todo $x \in I$, $$ g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} $$ existe y $f(y) \geq f(x) + g(x) (y-x)$ para todo $y \in I$.

En particular, $g$ es un subderivative de $f$.

Answer 3

$$ \begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} &=& \frac12 \lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}h+\frac{f(x)-f(x-h)}h\right) \\ &=& \frac12 (f'(x)+f'(x)) = f'(x) \end{eqnarray*} $$

Asumiendo, por supuesto que $f$ es derivable en $x$.

Answer 4

Este no puede ser utilizado como una definición de la derivada. Primero, el resultado es la mitad de la suma de la izquierda y la derecha derivados en $x$, cuando estos existen. Segundo, el límite puede ser bien definido, incluso cuando la cara de derivados no existen, por ejemplo, $f(x)=|x|^$ todo $x=0$ para valores adecuados de $a$. De manera más general, el límite de $$ x existe y es de $g'(x)$, tan pronto como $f=g+s$ con $g$ diferenciable en $x$ y $s$ simétrica alrededor de $x$ en el sentido de que $s(x+z)=s(x-z)$ para todo $|z|$ lo suficientemente pequeño por lo tanto, esta noción puede ser utilizado para deshacerse de los simétrica pero se portó mal partes de $f$, alrededor de $x$.

Answer 5

Si $f$ es permitido para ser discontinua tenemos este ejemplo:

$$ x \in \mathbb{Q} \implica \lim_{h \to 0} \frac{1_\mathbb{Q}(x+h) - 1_\mathbb{Q}(x-h)}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0.$$

Que no parece particularmente útil para mí.