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¿Qué es $\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dt}\right)$?

Esta pregunta fue inspirado por la ecuación de Lagrange, $\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$. ¿Qué pasa si las derivadas parciales son reemplazados por el total de los derivados, dando lugar a una situación en la que una función la derivada respecto a una variable se diferencian por la función original?

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Shabaz Puntos 403

Escribir $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\frac{dt}{dx}}\right)$$ and use the chain rule. $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\left(\frac{-1}{(\frac{dt}{dx})^2}\right)\frac{d^2t}{dx^2}=-\left (\frac{dx}{dt}\right )^2\frac{d^2t}{dx^2}$$

6voto

Jesse Madnick Puntos 13166

Alternativamente, la regla de la cadena $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$ da $$\frac{d}{dx}(\frac{dx}{dt}) = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})\frac{dt}{dx} = \frac{d^2x}{dt^2}\frac{dt}{dx}.$$ Por supuesto, este es el mismo Ross respuesta anterior. Es decir, tenemos la identidad de $$-\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{d^2x}{dt^2}\frac{dt}{dx},$$ lo que sigue a partir de la diferenciación de la ecuación de $\frac{dx}{dt}\frac{dt}{dx} = 1$ con respecto al $t$.

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Tpofofn Puntos 2607

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ puede ser entendido como la generalización de la inercia del sistema (por ejemplo,$\frac{d}{dv}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = mv$, la derivada de la energía cinética con respecto a la velocidad de impulso). A continuación, $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ es el tiempo derivado de la generalización de impulso. Asimismo, el $\frac{\partial L}{\partial q}$ plazo se comporta como una generalización de la fuerza. Esto comienza a parecerse a la segunda ley de Newton, pero para generalizada en las coordenadas.

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