Cuántas L-determinar los valores de forma modular?

Question

Supongamos $f$ $g$ son dos newforms de ciertos niveles, pesos, etc. Si sabemos que L(f,n)=L(g,n) para todos los suficientemente grandes $n$, podemos concluir que el $f=g$?

La misma pregunta cuando las formas tienen el mismo peso y $n$ corre sobre los puntos críticos.

Answer 1

Creo que la respuesta a tu primera pregunta es "sí". Supongamos $L(f,s) = \sum_{m} a(m)m^{-s}$$L(g,s) = \sum_{m} b(m) m^{-s}$,$L(f,n) = L(g,n)$$n \geq n_0$, $n_0$ lo suficientemente grande como para que las sumas convergen absolutamente. A continuación, elegir un número entero $M \geq n_0$ y pesos $C_M(n)$, de modo que $\sum_{n \geq M} C_M(n) m^{-n}$ $1$ si $m=M$, e $0$ lo contrario. Uno puede, sin duda vienen con tales pesos sin demasiados problemas. A continuación,$a(M) = \sum_{n \geq M} C_M(n) L(f,n) = \sum_{n \geq M} C_M(n) L(g,n) = b(M)$. No es demasiado difícil ver que si dos formas modulares, finalmente, tienen los mismos coeficientes de Fourier, entonces son la misma.

edit: Después de poco más de pensamiento, estoy teniendo problemas para justificar la existencia de esos pesos. He encontrado una solución diferente que estoy publicando por separado como una respuesta.

Answer 2

La respuesta a la primera pregunta es "sí". El estándar de prueba de la singularidad de un Dirichlet expansión de la serie en realidad se generaliza para mostrar la siguiente.

Teorema. Supongamos que $A(s) = \sum_n a_n n^{-s}$ $B(s) = \sum_n b_n n^{-s}$ son de Dirichlet de la serie con los coeficientes de $a_n, b_n$ acotado por un polinomio. Si existe una secuencia de números complejos $s_k$ con parte real aproxima a infinito tal que $A(s_k) = B(s_k)$ todos los $k$, $a_n = b_n$ todos los $n$.

Prueba (boceto). Proceder por inducción. Para $k$ grande tenemos $A(s_k) = a_1 + O(2^{-\sigma_k})$ donde $\sigma_k$ es la parte real de la $s_k$. Del mismo modo, $B(s_k) = b_1 + O(2^{-\sigma_k})$. Desde $A(s_k) = B(s_k)$, llegamos a la conclusión de que $a_1 = b_1$. Un argumento similar muestra $a_2 = b_2$, $a_3 = b_3$, etc.

Answer 3

Creo que la respuesta a la segunda pregunta es "no". Por ejemplo, si $k=2$ $f$ $g$ corresponden a curvas elípticas sobre $Q$ con rango positivo, entonces el único punto crítico es $s=1$ y (al menos conjecturally, y suficientemente en muchos casos seguramente) tanto en $L$-funciones desaparecerá en este punto.