Límite de una serie de singularidades

Question

El $A_\infty$ y $D_\infty$ avión de la curva de las singularidades de tener la definición de las ecuaciones de $x^2=0$ y $x^2y=0$. Estas ecuaciones son "claramente" natural limitando los casos de las ecuaciones de $A_n$ singularidades $x^2 + y^{n+1}=0$ y $D_n$ singularidades $x^2y+y^{n-1}=0$ $n \to \infty$, ya que las grandes potencias son pequeñas en la adic topología. Por lo tanto, estamos tentados a decir que $A_\infty$ y $D_\infty$ son los "límites" de la "serie de singularidades" $\{A_n\}$ y $\{D_n\}$. Esto ya fue observado por Arnol d en 1981, quien escribió "a Pesar de que la serie sin duda existen, no es del todo claro lo que una serie de singularidades es."

Han habido intentos desde Arnol d para darle sentido a las frases entre comillas en el párrafo anterior? Que es:

Hay una definición precisa de "una serie de singularidades", y del "límite" de una serie de singularidades, en virtud de los cuales $\lim_{n\to \infty} A_n = A_\infty$ y $\lim_{n\to \infty} D_n = D_\infty$?

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Si la respuesta es Sí, aquí está otro desiderátum: ¿el concepto de "límite" extender a los módulos/poleas sobre las singularidades? Mi motivación es que el $A_n$ y $D_n$ son (casi) precisamente el equicharacteristic hypersurfaces con finito de Cohen-Macaulay tipo (es decir, sólo un número finito de indecomposable MCM módulos), mientras que $A_\infty$ y $D_\infty$ son precisamente los que con contables o limitada CM tipo. Realmente me gustaría una declaración de que cada uno de los MCM módulo sobre el "límite" "viene de" módulo "en algunos finito etapa".

Answer 1

Esta no es una respuesta, sino más bien un comentario largo (estudiante de posgrado de nivel, así que por favor no lo tome en serio). Yo uso las superficies en busca de la simplicidad. La respuesta debe ser sí de alguna forma. Mi creencia es la de que el espacio de moduli de la teoría. Se sabe que las normales de las superficies estables admitir que en el peor de registro canónica de singularidades aisladas. Esto incluye $xyz+x^p+y^r+z^p$ singularidades. Sin embargo, para completar el espacio de moduli de las superficies, se debe incluir no aislado singularidades de la forma $xyz$, $xyz+x^p$ y $xyz+x^p+y^r$ (entre otros). La semejanza de las ecuaciones debe ser más que una coincidencia. Así que, me imagino que puede tener una singularidad aislada y considerar todas las deformaciones de ésta no aisladas. Luego de buscar la mínima "completa" de la familia de esas degeneraciones.

Quisiera que alguien puede decir algo más acerca de todo esto.

Answer 2

De gran potencia son pequeños en adic topología: Para la serie de singularidades vamos a Un infinito y D infinity están plano de la curva de singularidades:x^2=0 & X^2.y=0 ambas ecuaciones son naturales limitantes para Una(n) singularidades x^2+y^n+1=0 & D(n) singularidades x^2y+y^n-1=0 como n_>infinty es por eso que aquí somos capaces de decir que A (infinito) y D(infinito) son los límites de la serie de singularidad A(n) y D(n)